已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过不重合的两点（s-3，t），（3-s,t）．
（1）若点P（2，1）在该抛物线上，求a2+c的最小值；
（2）已知P1（1，12），P2（1，-12），P3（-1，-12）三点中有且仅有一点在该抛物线上，若该抛物线与x轴只有一个交点，求该抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线l：y=kx+m（k≠0）与y轴交于点F（0，1），与该抛物线交于A，B两点，点C的坐标是（0，-1），连接AC，BC分别交x轴于D，E两点，连接FD，FE，记△ADF，△BEF的面积分别为S1，S2，求证：S1S2=AFBF•CEBE．
P
1
（
1
，
1
2
）
，
P
2
（
1
，-
1
2
）
，
P
3
（
-
1
，-
1
2
）
S
1
S
2
=
AF
BF
•
CE
BE
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）当a=2时，a2+c取到最小值-3；
（2）抛物线的解析式是；
（3）证明见解析过程．
（2）抛物线的解析式是
y
=
1
2
x
2
（3）证明见解析过程．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：232引用：2难度：0.1
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1．如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（-1，0）、点B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1，对称轴交x轴交于点E，交BC与点F．
（1）求顶点D的坐标；
（2）如图2所示，过点C的直线交直线BD于点M，交抛物线于点N．
①若直线CM将△BCD分成的两部分面积之比为2：1，求点M的坐标；
②若∠NCB=∠DBC，求点N的坐标．
发布：2025/5/24 5:0:1组卷：1106引用：5难度：0.5 -
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），B（
，0），直线y=x+52与抛物线交于C，D两点，点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点P作PG⊥CD，垂足为G，PQ∥y轴，交x轴于点Q．12
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当PG+PQ取得最大值时，求点P的坐标和2PG+PQ的最大值；2
（3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点，点N是平面内一点．当（2）中134PG+PQ最大时，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．2
发布：2025/5/24 5:0:1组卷：1765引用：4难度：0.3 -
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，P为y轴上的一个动点，已知A（-2，0）、C（0，-2），且抛物线的对称轴是直线x=1．3
（1）求此二次函数的解析式；
（2）连接PB，则PC+PB的最小值是；12
（3）连接PA、PB，P点运动到何处时，使得∠APB=60°，请求出P点坐标．发布：2025/5/24 5:0:1组卷：1948引用：7难度：0.2
