【问题提出】
在由（m×n）个小正方形（边长为1）组成的长方形网格中，长方形的一条对角线所穿过的小正方形个数f与m,n有怎样的关系？（其中，m、n为正整数且m≥n）
【问题探究】
我们采用“从特殊到一般”的问题解决策略，先来考虑几种特殊的情况．
（1）当m,n互质时，观察图1并完成如表：
| 长方形长m | 2 | 3 | 3 | 5 | 4 | 5 | … |
| 长方形宽n | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | … |
| 对角线所穿过的小正方形个数f | 2 | 3 | 4 | 6 | 6 | x | … |
8
8
；②结论：当m,n互质时，在m×n的长方形网格中，该长方形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m,n之间的关系式是
f=m+n-1
f=m+n-1
．（2）当m,n不互质时，不妨设k为m、n的最大公约数，且m=ka,n=kb（a,b,k为正整数），观察图2并完成如表：
| m×n的长方形 | 4×2 | 6×2 | 6×4 | 9×3 | 9×6 | 15×10 | |
| a | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | … |
| b | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | … |
| 公约数k | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 5 | … |
| 对角线穿过的小正方形个数f | 4 | 6 | y | 9 | 12 | z | … |
8
8
，z=20
20
；④当m,n不互质时，若m=ka,n=kb,（a,b,k为正整数）．在（m×n）的长方形网格中，长方形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a,b,k之间的关系式是
f=k（a+b-1）
f=k（a+b-1）
．【模型应用】
如果一个长方形的一条对角线穿过的小正方形的个数是14个，在图3所示网格图中用实线画出满足条件的小长方形（至少画出2个）．
【考点】四边形综合题．
【答案】8；f=m+n-1；8；20；f=k（a+b-1）
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/8 8:0:9组卷：50引用：1难度：0.6
相似题
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1．探究问题：
（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
证明：延长CB到G，使BG=DE，连接AG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．
变化：在图①中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系 ；
（2）方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想DF，BE，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想．12
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：∠B与∠D满足关系：．12发布：2025/6/24 19:0:1组卷：879引用：1难度：0.1 -
2．已知△ABC是等边三角形，四边形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．
（1）如图①，当AD与边BC相交，点D与点F在直线AC的两侧时，BD与CF的数量关系为．
（2）将图①中的菱形ADEF绕点A旋转α（0°＜α＜180°），如图②．
Ⅰ．判断（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②证明你的结论．
Ⅱ．若AC=4，AD=6，当△ACE为直角三角形时，直接写出CE的长度．发布：2025/6/25 7:30:2组卷：365引用：4难度：0.1 -
3．如图，四边形ABCD是正方形，E是正方形ABCD内一点，F是正方形ABCD外一点，连接BE、CE、DE、BF、CF、EF．
（1）若∠EDC=∠FBC，ED=FB，试判断△ECF的形状，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求BE：BF的值．
（3）在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为（3+3）cm,∠EDC=30°，求△BCF的面积．7发布：2025/6/24 17:30:1组卷：59引用：1难度：0.5
