我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．
某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析：
【提出问题】已知0＜x＜1，求1+x2+1+（1-x）2的最小值
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为1+x2和1+（1-x）2的线段，将代数求和转化为线段求和问题．
【解决问题】
（1）如图，我们可以构造边长为1的正方形ABCD，P为BC边上的动点．设BP=x,则PC=1-x.
则1+x2+1+（1-x）2=线段 APAP+线段 PDPD；
（2）在（1）的条件下，已知0＜x＜1，求1+x2+1+（1-x）2的最小值；
（3）【应用拓展】应用数形结合思想，求x2+9-（x-6）2+1的最大值．
1
+
x
2
+
1
+
（
1
-
x
）
2
1
+
x
2
1
+
（
1
-
x
）
2
1
+
x
2
+
1
+
（
1
-
x
）
2
1
+
x
2
+
1
+
（
1
-
x
）
2
x
2
+
9
-
（
x
-
6
）
2
+
1
【考点】四边形综合题．
【答案】AP；PD
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/28 8:0:9组卷：160引用：3难度：0.2
相似题
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1．如图，菱形ABCD中，AB=5，连接BD，sin∠ABD=
，点P是射线BC上一点（不与点B重合），AP与对角线BD交于点E，连接EC．55
（1）求证：AE=CE；
（2）当点P在线段BC上时，设BP=n（0＜n＜5），求△PEC的面积；（用含n的代数式表示）
（3）当点P在线段BC的延长线上时，若△PEC是直角三角形，请直接写出BP的长．发布：2025/1/28 8:0:2组卷：255引用：1难度：0.1 -
2．如图，在菱形ABCD中，AB=10，sinB=
，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．35
（1）如图1，点G在AC上．求证：FA=FG．
（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长．
（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似（包括全等）？
发布：2025/1/28 8:0:2组卷：2055引用：3难度：0.1 -
3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2．过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E．P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接PA，PE，AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）求四边形ABDE的周长和面积；
（3）记△ABP的周长和面积分别为C1和S1，△PDE的周长和面积分别为C2和S2，在点P的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．发布：2025/1/28 8:0:2组卷：577引用：1难度：0.2
