折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
（1）操作判断：
在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部的点M处，把纸片展平，过M作EF∥BC交AB、CD、BP于点E、F、N，连接PM并延长交CD于点Q，连接BQ，如图①，当E为AB中点时，△PMN是 等边等边三角形．∠QBC=15°15°．
（2）迁移探究：
如图②，若BE=5，且ME•MF=10，求正方形ABCD的边长．
（3）拓展应用：
如图③，若MNBC=1n（n＞1），直接写出CQBC的值为n-1n+1n-1n+1．
MN
BC
1
n
CQ
BC
n
-
1
n
+
1
n
-
1
n
+
1
【考点】相似形综合题．
【答案】等边；15°；
n
-
1
n
+
1
【解答】
【点评】
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发布：2024/5/15 8:0:8组卷：461引用：1难度：0.5
相似题
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1．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是上底AD的中点，P是腰AB上一动点，连接PE并延长，交射线CD于点M，作EF⊥PE，交下底BC于点F，连接MF交AD于点N，连接PF，AB=AD=4，BC=6，点A、P之间的距离为x,△PEF的面积为y.
（1）当点F与点C重合时，求x的值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当∠CMF=∠PFE时，求△PEF的面积．发布：2025/1/28 8:0:2组卷：240引用：1难度：0.5 -
2．【感知】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是边AC、BC的中点，连接DE．则△CDE与△CAB的面积比为．
【探究】将图①的△CDE绕着点C按顺时针方向旋转一定角度，使点E落在△ABC内部，连接AD、BE，并延长BE分别交AC、AD于点O、F，其它条件不变，如图②．
（1）求证：△ACD∽△BCE．
（2）求证：AD⊥BF．
【应用】将图②的△CDE绕着点C按顺时针方向旋转，使点D恰好落在边BC的延长线上，连接AD、BE，BE的延长线交AD于点F，其它条件不变，如图③，若AC=4，BC=3，则BF的长为．
发布：2025/1/28 8:0:2组卷：302引用：1难度：0.1 -
3．【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多……
（1）【问题提出】如图①，PC是△PAB的角平分线，求证．PAPB=ACBC
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明；小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥PA，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”．
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”．
（2）【理解应用】填空：如图②，Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，CD平分∠ACB交AB于点D，则BD长度为 ；
（3）【深度思考】如图③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边BC上一点，连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠点C恰好落在边AB上的E点处．若AC=1，AB=2，则DE的长为 ；
（4）【拓展升华】如图④，△ABC中，AB=6，AC=4，AD为∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线EF交BC延长线于F，连接AF，当BD=3时，AF的长为 ．
发布：2025/1/28 8:0:2组卷：353引用：1难度：0.1
