问题背景：如图1，在等边△ABC中，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=30°，设BD=a,则CD=a,AB=BC=AC=2a,由勾股定理可知AD=3a．若将△ABD和△ACD重新组合为如图2的△ABA'，此时，∠ABA'=120°，AB=A'B，我们可以得到AA′AB=2ADAB=3．请运用此结论完成以下任务．
迁移应用：如图3，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=120°，D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．
（1）求证：△ADB≌△AEC．
（2）请直接写出线段AD、BD、CD之间的数量关系．
（3）如图4，△ABD与△CBD都是等边三角形，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE、CF．若AE=5，EF=2，求BF的长．
1
2
∠
BAC
=
30
°
AD
=
3
a
AA
′
AB
=
2
AD
AB
=
3
【考点】三角形综合题．
【答案】（1）见解析过程；
（2）CD=AD+BD；
（3）3．
（2）CD=
3
（3）3
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/8/20 4:0:1组卷：267引用：3难度：0.3
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1．已知直角△ABC，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，连接EF．
（1）如图1，求证：∠BED=∠AFD；
（2）如图1，求证：BE2+CF2=EF2；
（3）如图2，当∠ABC=45°，若BE=4，CF=3，求△DEF的面积．发布：2024/12/23 14:0:1组卷：216引用：3难度：0.2 -
2．一副三角板如图1摆放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转）．
（1）当∠AFD=°时，DF∥AC；当∠AFD=°时，DF⊥AB；
（2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若△AFP有两个内角相等，求∠APD的度数；
（3）当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3，若∠AFM=2∠BMN，比较∠FMN与∠FNM的大小，并说明理由．
发布：2024/12/23 18:30:1组卷：1755引用：10难度：0.1 -
3．已知A（0，4），B（-4，0），D（9，4），C（12，0），动点P从点A出发，在线段AD上，以每秒1个单位的速度向点D运动：动点Q从点C出发，在线段BC上，以每秒2个单位的速度向点B运动，点P、Q同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当t=秒时，PQ平分线段BD；
（2）当t=秒时，PQ⊥x轴；
（3）当时，求t的值．∠PQC=12∠D发布：2024/12/23 15:0:1组卷：185引用：3难度：0.1
