问题背景：如图1，在等边△ABC中，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=30°，设BD=a,则CD=a,AB=BC=AC=2a,由勾股定理可知AD=3a．若将△ABD和△ACD重新组合为如图2的△ABA'，此时，∠ABA'=120°，AB=A'B，我们可以得到AA′AB=2ADAB=3．请运用此结论完成以下任务．
迁移应用：如图3，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=120°，D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．
（1）求证：△ADB≌△AEC．
（2）请直接写出线段AD、BD、CD之间的数量关系．
（3）如图4，△ABD与△CBD都是等边三角形，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE、CF．若AE=5，EF=2，求BF的长．
1
2
∠
BAC
=
30
°
AD
=
3
a
AA
′
AB
=
2
AD
AB
=
3
【考点】三角形综合题．
【答案】（1）见解析过程；
（2）CD=AD+BD；
（3）3．
（2）CD=
3
（3）3
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/8/20 4:0:1组卷：273引用：3难度：0.3
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1．已知，如图，在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，B为x轴负半轴上一点．
（1）若BP平分∠ABO，AP平分∠BAO的外角，求∠P．
（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，BP平分∠ABC，且P在AC的垂直平分线上．若∠ABC=2∠ACB，求证：AP∥BC．
（3）在第（2）问的条件下，D是AB上一点，E是x轴正半轴上一点，连AE交DP于H．当∠DHE与∠ABE满足什么条件时，DP=AE，请说明理由．
发布：2025/6/17 19:30:1组卷：75引用：1难度：0.3 -
2．把一副三角板按如图1摆放（点C与点E重合），点B，C（E），F在同一直线上．∠ACB=∠DFE=90°，∠A=30°，∠DEF=45°，BC=EF=8cm,点P是线段AB的中点．△DEF从图1的位置出发，以4cm/s的速度沿CB方向匀速运动，如图2，DE与AC相交于点Q，连接PQ．当点D运动到AC边上时，△DEF停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当t=1时，求AQ的长；
（2）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（3）当t为何值时，△APQ是直角三角形？
发布：2025/6/17 21:30:1组卷：286引用：3难度：0.1 -
3．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（ ）
①CE=BD；
②△ADC是等腰直角三角形；
③∠ADB=∠AEB；
④S四边形BCDE=BD•CE；12
⑤BC2+DE2=BE2+CD2．发布：2025/6/18 15:30:1组卷：1902引用：10难度：0.7
