如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+3x+c与x轴交于点A、B（A左B右），与y轴交于点C，直线y=-x+4经过点B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第一象限内抛物线上一点，连接PA，PB，设点P的横坐标为t,△PAB的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，如图3，AP交y轴于点D，AD=DP，点F为x轴上点B右侧一点，∠PAB-∠BPF=45°，将线段AB绕着点A逆时针旋转至AE，AE∥PF，连接OE交抛物线于点H，求点H的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2+3x+4；
（2）S=-；
（3）H（，）．
（2）S=-
5
2
t
2
+
15
2
t
+
10
（3）H（
9
-
181
5
3
181
-
27
25
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/6 9:0:9组卷：129引用：2难度：0.3
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1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，3），DE所在的直线是该抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）连接AD，P是AD上的动点，P′是点P关于DE的对称点，连接PE，过点P′作P′F∥PE，交x轴于点F，设四边形PP′FE的面积为y,EF=x,求y与x之间的函数关系式．发布：2025/6/16 2:0:1组卷：231引用：2难度：0.3 -
2．如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标．若不存在，请说明理由．
发布：2025/6/16 1:30:1组卷：2079引用：7难度：0.5 -
3．如图，一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．43
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点E，使点E到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出此点E的坐标；
（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．发布：2025/6/16 1:30:1组卷：223引用：2难度：0.4
