如图1，在正方形ABCD中，P是边BC上的动点，E在△ABP的外接圆上，且位于正方形ABCD的内部，EA=EP，连结AE，EP．
（1）求证：△PAE是等腰直角三角形；
（2）如图2，连结DE，过点E作EF⊥BC于点F，请探究线段DE与PF的数量关系，并说明理由；
（3）当点P是BC的中点时，DE=4．
①求BC的长；
②若点Q是△ABP外接圆上的动点，且位于正方形ABCD的外部，连结AQ．当∠PAQ与△ADE的一个内角相等时，求所有满足条件的AQ的长．
【考点】圆的综合题．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）结论：DE=PF，理由见解析部分；
（3）①8；
②4或12．
（2）结论：DE=
2
（3）①8
2
②4
5
【解答】
【点评】
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发布：2024/5/9 8:0:9组卷：289引用：3难度：0.5
相似题
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1．【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes,公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是
的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程．ˆABC
证明：如图2，在CD上截取CG=AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，ˆABC
∴MA=MC，
又∵∠A=∠C，BA=GC，
∴△MAB≌△MCG，
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=DG，
∴AB+BD=CG+DG即CD=DB+BA．
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB=4，BC=6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD=；ˆABC
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．ˆAC
【实践应用】如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC=45°，若AB=6，⊙O的半径为5，则AD=．
发布：2025/5/24 15:30:1组卷：1264引用：8难度：0.2 -
2．（1）如图1，⊙A的半径为2，AB=5，点P为⊙A上任意一点，则BP的最小值为 ．
（2）如图2，已知矩形ABCD，点E为AB上方一点，连接AE，BE，作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心，求∠BPE的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AP，CP，若矩形的边长AB=6，BC=4，BE=BA，求此时CP的最小值．
发布：2025/5/24 16:30:1组卷：1241引用：6难度：0.3 -
3．微探究：如图①，点P在⊙O上，利用直尺（没有刻度）和圆规过点P作⊙O的切线．小明所在的数学小组经过合作探究，发现了很多作法，精彩纷呈．
作法一：
①作直径PA的垂直平分线交⊙O于点B；
②分别以点B、P为圆心，OP为半径作弧，两弧交于点C；
③作直线PC．
作法二：
①作直径PA的四等分点B、C；
②以点A为圆心，CA为半径作弧，交射线PA于点D；
③分别以点A、P为圆心，PD、PC为半径作弧，两弧交于点E；
④作直线PE．
（1）以上作法是否正确？选一个你认为正确的作法予以证明；
（2）在图①、图②中用两种作法作出符合条件的图形（与以上作法不同）．不写作法，保留作图痕迹．
发布：2025/5/24 16:0:1组卷：115引用：1难度：0.1
