综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°．将△ABC从图1的位置开始绕点C顺时针旋转得到△A'B'C（点A，B的对应点分别为点A′，B'），旋转角为α（0°＜α＜180°）．
操作思考：（1）如图2，“明辨”小组画出了A'B'恰好经过点B时的图形．求此时旋转角α的度数；
（2）如图3，“善思”小组画出了点A'落在CB延长线上时的图形，此时点B'也恰好在AC的延长线上．过点B作AC的平行线交AA′于点P，连接BB'．猜想线段AP与BB'的数量关系，并说明理由；
拓展探究：（3）如图4，“博学”小组在图2的基础上，将△BCB′沿射线A'C的方向平移，点B，C，B′的对应点分别为D，E，F．若AB=4，当以A，B'，D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出平移的距离．
【考点】几何变换综合题．
【答案】（1）α=60°；
（2）猜想AP=BB'，理由见解析过程；
（3）当以A，B'，D为顶点的三角形是等腰三角形时，平移的距离为或．
（2）猜想AP=BB'，理由见解析过程；
（3）当以A，B'，D为顶点的三角形是等腰三角形时，平移的距离为
4
3
2
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/22 8:0:10组卷：624引用：3难度：0.1
相似题
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1．阅读下面的材料，并解决问题：
（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别是3、4、5，求∠APB的度数．由于PA、PB、PC不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP≌．这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数；（求∠APB的度数）
（2）请你利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题：如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2．发布：2025/6/9 5:30:2组卷：189引用：2难度：0.2 -
2．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系是：；数量关系是：；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系为：；
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．
发布：2025/6/9 6:30:1组卷：724引用：2难度：0.3 -
3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．将Rt△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜60°）得到Rt△DEB，直线DE，AC交于点P．
（1）如图1，当BD⊥BC时，连接BP．
①求△BDP的面积；
②求tan∠CBP的值；
（2）如图2，连接AD，若F为AD中点，求证：C，E，F三点共线．
发布：2025/6/9 17:0:1组卷：511引用：4难度：0.1
