【感知】
如图1，在四边形ABCD中，点P在边AB上（不与A、B重合），∠A=∠B=∠DPC=90°．易证：△DAP∽△PBC（不要求证明）．
【探究】
如图2，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A=∠B=∠DPC．
（1）求证：△DAP∽△PBC．
（2）若PD=5，PC=10，BC=9，则AP的长为 4.54.5．
【应用】
如图3，在△ABC中，AC=BC=8，AB=12．点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作∠CPE=∠A，PE与边BC交于点E．
（3）当CE=3EB时，求AP的长．
（4）当△CPE是等腰三角形时，直接写出AP的长．
【考点】相似形综合题．
【答案】4.5
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/25 0:0:1组卷：122引用：2难度：0.5
相似题
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1．已知点E、F分别是四边形ABCD边AB、AD上的点，且DE与CF相交于点G．
（1）如图①，若AB∥CD，AB=CD，∠A=90°，且AD•DF=AE•DC，求证：∠CGE=90°；
（2）如图②，若AB∥CD，AB=CD，且∠A=∠EGC时，求证：DE•CD=CF•DA；
（3）如图③，若BA=BC=3，DA=DC=4，设DE⊥CF，当∠BAD=90°时，直接写出的值．DECF
发布：2025/5/23 13:30:1组卷：556引用：2难度：0.3 -
2．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，D为边BC上一动点（不与B、C重合），CD和AD的垂直平分线交于点E，连接AD、AE、DE和CE，ED与AC相交于点F，设∠CAE=a.
（1）请用含a的代数式表示∠CED的度数；
（2）求证：△ABC∽△AED；
（3）若a=30°，求EF：BD的值．发布：2025/5/23 14:0:1组卷：77引用：1难度：0.1 -
3．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，DE∥BC，BC=8，AF交DE于点G，则DG的长为 ；
问题探究
（2）如图②，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=4，点D为线段CB上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为腰且在AD的右侧作等腰直角△ADF，∠ADF=90°，AB与FD交于点E，连接BF，求证：△ACD∽△ABF；
问题解决
（3）如图是郊外一空地，为了美化生态环境，现要将这块地打造成一个公园，在空地一侧挖一个四边形的人工湖CDQP，点P、Q分别在边AB、AD上，且满足PB=AQ，已知AB=AD，∠ACB=∠BAD=90°，AB=500m,BC=300m,为了满足湖周边的建设用地需要，人工湖的面积需尽可能小，设PB的长为x（m），四边形CDQP的面积为S（m2）．
①求S与x之间的函数关系式；
②求人工湖面积的最小值及此时AQ的长．
发布：2025/5/23 16:0:1组卷：259引用：1难度：0.3
