在数学课上，老师将同学们分成“智慧组”，“奋进组”和“创新组”三个数学活动小组，进一步探究等边三角形的有关问题．
（1）如图①，“智慧组”在等边△ABC中，作AD⊥BC于点D，经过探究提出下面结论：
在直角三角形（Rt△ABD）中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（BD=12AB）．
①Rt△ABD中等于30°的角为 ∠BAD∠BAD（直接填空）；
②求证：BD=12AB．
（2）“奋进组”直接探究了下面的问题：
已知：△ABC为等边三角形，以CA为腰，在△ABC外作等腰△CAE，使CA=CE，∠ACE=α（0°＜α＜120°），连接BE，则∠AEB的度数是个定值．
①利用图②求出∠AEB的度数；
②“创新组”发现：取BE中点F，连接CF并延长CF交直线AE于点G，若AG=1，AE=3，则可得出线段CG的长．请直接写出线段CG的长．
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【考点】三角形综合题．
【答案】∠BAD
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/8 8:0:9组卷：487引用：1难度：0.4
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1．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．过G作GE⊥GF分别交AB、AC于点E、F；
（1）如图①所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证：AE+AF=AD．2
（2）如图②所示，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间存在的数量关系并说明理由．
（3）当点G在线段AD上时，请直接写出AG+BG+CG的最小值．
发布：2025/6/7 2:30:1组卷：255引用：4难度：0.2 -
2．如图（1）所示，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D．
（1）求证：△BDE为等腰三角形；
（2）若D为AB中点，AB=6，求线段BC的长；
（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BE运动，请直接写出图2中当△ABP为等腰三角形时点P的运动时间.
发布：2025/6/7 3:30:1组卷：142引用：1难度：0.1 -
3．在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上（不与点B，C重合）．
（1）如图1，若△ADC是直角三角形，
①当AD⊥BC时，求AD的长；
②当AD⊥AC时，求CD的长．
（2）如图2，点E在AB上（不与点A，B重合），且∠ADE=∠B．
①若BD=AC，求证：△DBE≌△ACD
②若△ADE是等腰三角形，求CD的长．
发布：2025/6/7 3:30:1组卷：1514引用：3难度：0.4
