已知函数f（x）=1+ax-1x-（a+1）lnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）求证：∀n∈N*，ln2+ln3+ln4+…+lnn+lnn+1＞（n+1-1）2．
1
x
-
（
a
+
1
）
lnx
2
+
ln
3
+
ln
4
+
…
+
ln
n
+
ln
n
+
1
＞
（
n
+
1
-
1
）
2
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．
【答案】（1）a≤0时，x∈（0，1）时，函数f（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递减．
0＜a＜1时，函数f（x）在x∈（0，1）上单调递增；f（x）在x∈（1，）上单调递减；f（x）在x∈（，+∞）上单调递增．
a=1时，函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．
a＞1时，0＜ ＜1，∴函数f（x）在x∈（0，）上单调递增；f（x）在x∈（，1）上单调递减；f（x）在x∈（1，+∞）上单调递增．
（2）见证明过程．
0＜a＜1时，函数f（x）在x∈（0，1）上单调递增；f（x）在x∈（1，
1
a
1
a
a=1时，函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．
a＞1时，0＜
1
a
1
a
1
a
（2）见证明过程．
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/27 8:0:9组卷：64引用：3难度：0.3
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