【情境建模】（1）苏科版教材八年级上册第60页，研究了等腰三角形的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．
小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形．如图1，已知，点D在△ABC的边BC上，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，求证：AB=AC．请你帮助小明完成证明．
请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：
【理解内化】（2）①如图2，在△ABC中，AD是角平分线，过点B作AD的垂线交AD、AC于点E、F，∠ABF=2∠C，求证：BE=12（AC-AB）．
②如图3，在四边形ABDC中，BC=7，AC-AB=2，AD平分∠CAB，AD⊥CD，当△BCD的面积最大时，请直接写出此时CD的长．
【拓展应用】（3）如图4，△ABC是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中∠ACB=90°，AC=15m,BC=20m,该绿化带中修建了健身步道．OA、OB、OM、ON、MN，其中入口M、N分别在AC、BC上，步道OA、OB分别平分∠BAC和∠ABC，OM⊥OA，ON⊥OB．现要用围挡完全封闭△CMN区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，请直接写出围挡的长度．（步道宽度和接头忽略不计）
BE
=
1
2
（
AC
-
AB
）
BC
=
7
AC
-
AB
=
2
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①证明见解析；
②；
（3）10m．
（2）①证明见解析；
②
3
2
（3）10m．
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/12 2:0:2组卷：341引用：1难度：0.5
相似题
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1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2．过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E．P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接PA，PE，AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）求四边形ABDE的周长和面积；
（3）记△ABP的周长和面积分别为C1和S1，△PDE的周长和面积分别为C2和S2，在点P的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．发布：2025/1/28 8:0:2组卷：577引用：1难度：0.2 -
2．如图，菱形ABCD中，AB=5，连接BD，sin∠ABD=
，点P是射线BC上一点（不与点B重合），AP与对角线BD交于点E，连接EC．55
（1）求证：AE=CE；
（2）当点P在线段BC上时，设BP=n（0＜n＜5），求△PEC的面积；（用含n的代数式表示）
（3）当点P在线段BC的延长线上时，若△PEC是直角三角形，请直接写出BP的长．发布：2025/1/28 8:0:2组卷：255引用：1难度：0.1 -
3．如图，在菱形ABCD中，AB=10，sinB=
，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．35
（1）如图1，点G在AC上．求证：FA=FG．
（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长．
（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似（包括全等）？
发布：2025/1/28 8:0:2组卷：2060引用：3难度：0.1
