在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a,b）和点Q（a,b′），给出如下定义：若b′=b+1，a≥1 -b,a＜1
，则称点Q为点P的勤学点．例如：点（2，3）的勤学点的坐标是（2，4），点（-2，5）的勤学点的坐标是（-2，-5）．
（1）①点（-3，1）的勤学点的坐标是 （-3，-1）（-3，-1）；
②点A（2，a）是函数y=4x图象上某一个点的勤学点，则a的值为 99；
（2）若点P在函数y=x+2（k≤x＜3，-7＜k＜3）的图象上，求其勤学点Q的纵坐标b'的取值范围（结果可用含k的代数式表示）；
（3）若点P在关于x的二次函数y=-x2+2tx-t2+t的图象上，其勤学点Q的纵坐标b'的取值范围是b'＞m或b'≤n,其中m＞n.令s=m-n,直接写出s关于t的函数解析式及t的取值范围．
b + 1 ， a ≥ 1 |
- b , a ＜ 1 |
（
-
3
，
1
）
3
3
【考点】二次函数综合题．
【答案】（-，-1）；9
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/22 3:0:20组卷：140引用：1难度：0.2
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1．如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．发布：2025/6/25 8:30:1组卷：6971引用：21难度：0.1 -
2．给定一个函数，如果这个函数的图象上存在一个点，它的横、纵坐标相等，那么这个点叫做该函数的不变点．
（1）一次函数y=3x-2的不变点的坐标为．
（2）二次函数y=x2-3x+1的两个不变点分别为点P、Q（P在Q的左侧），将点Q绕点P顺时针旋转90°得到点R，求点R的坐标．
（3）已知二次函数y=ax2+bx-3的两个不变点的坐标为A（-1，-1）、B（3，3）．
①求a、b的值．
②如图，设抛物线y=ax2+bx-3与线段AB围成的封闭图形记作M．点C为一次函数y=-x+m的不变点，以线段AC为边向下作正方形ACDE．当D、E两点中只有一个点在封闭图形M的内部（不包含边界）时，求出m的取值范围．13发布：2025/6/25 7:30:2组卷：348引用：2难度：0.1 -
3．如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是直线x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．发布：2025/6/25 6:0:1组卷：1079引用：59难度：0.5
