【问题背景】
学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边△ABC，D是△ABC外一点，连接AD、CD、BD，若∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长．
该小组在研究如图2中△OMN≌△OPQ中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程．
解：如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE．
∵△ABC、△DCE是等边三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠DCE=60°．
∴∠BCA+∠ACD= ∠DCE∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD=5．
∵∠ADC=30°，∠CDE=60°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°．
∵AD=3，
∴CD=DE= 44．
【尝试应用】
如图4，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=2，BC=4，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长．
【拓展创新】
如图5，在△ABC中，AB=4，AC=8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD=CD，∠BDC=120°，连接AD，求AD的最大值．
2
【考点】三角形综合题．
【答案】∠DCE；△BCD≌△ACE（SAS）；4
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/3 8:0:9组卷：2643引用：3难度：0.3
相似题
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1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A出发沿线段AB以每秒3个单位长的速度运动至点B，过点P作PQ⊥AB交射线AC于点Q，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段AQ的长为 ，线段PQ的长为 .（用含t的代数式表示）
（2）当△APQ与△ABC的周长的比为1：4时，求t的值．
（3）设△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．发布：2025/6/25 4:0:1组卷：19引用：1难度：0.3 -
2．如图，在△ABC中，BC=5，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE相交于点O，BD：CD=2：3，且AE=BE．
（1）求线段AO的长；
（2）动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动．P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△AOQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点，且CF=BO，是否存在t值，使以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/25 5:0:1组卷：191引用：3难度：0.4 -
3．已知等腰直角△ABC的直角边AB=BC=10cm,点P，Q分别从A．C两点同时出发，均以1cm/s的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t,△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式．
（2）当点P在线段AB上时，点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？14
（3）作PE⊥AC于点E，当点P．Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．发布：2025/6/23 23:0:10组卷：243引用：1难度：0.1
