已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当
|
TF
|
|
PQ
|
最小时，求点T的坐标．

【答案】（1）

=1.
（2）①证明详情见解答.
②（-3，1）或（-3，-1）.

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：2引用：1难度：0.6

相似题

1．已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
过点（0，
3
），左右焦点分别为F₁（-c,0）、F₂（c,0），椭圆离心率为
1
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：
y
=
-
1
2
x
+
m
与椭圆交于A、B两点，与以F₁F₂为直径的圆交于C、D两点，且满足
|
AB
|
|
CD
|
=
5
3
4
，求直线l的方程．
发布：2025/1/2 21:30:1组卷：15引用：3难度：0.5
解析
2．已知椭圆C的中心在原点，右焦点坐标为（
5
，0），半长轴与半短轴的长度之和为5，则C的标准方程为（　　）
A．
x
2
5
+
y
2
9
=
1
B．
x
2
4
+
y
2
9
=
1
C．
x
2
9
+
y
2
5
=
1
D．
x
2
9
+
y
2
4
=
1
发布：2025/1/2 21:30:1组卷：24引用：2难度：0.9
解析
3．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（　　）
A．3 B．6 C．8 D．12
发布：2025/1/2 19:0:1组卷：40引用：5难度：0.5
解析

2．已知椭圆C的中心在原点，右焦点坐标为（5，0），半长轴与半短轴的长度之和为5，则C的标准方程为（ ）