【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在△ABC中，∠A=75°，∠B=25°，则∠A 与∠B 互为“和谐角”，△ABC为“和谐三角形”．
【理解】
（1）若△ABC为和谐三角形，∠A=140°，则这个三角形中最小的内角为 1010°；
（2）若△ABC为和谐三角形，∠A=90°，则这个三角形中最小的内角为 30或22.530或22.5°；
（3）已知∠A是和谐△ABC中最小的内角，并且是其中的一个和谐角，试确定∠A的取值范围，并说明理由；
【应用】
（4）如图，△ABC中，AC=BC，∠EBC=13∠ABC，EB交AC于点F，点D是BC延长线上一点，∠ECD=13∠ACD，若∠FCB是和谐△BCF中的一个和谐角，设∠E=α，则α=20°或（54019）°或 （607）°或 （54023）°20°或（54019）°或 （607）°或 （54023）°．
∠
EBC
=
1
3
∠
ABC
∠
ECD
=
1
3
∠
ACD
540
19
（
60
7
）
540
23
540
19
（
60
7
）
540
23
【考点】三角形综合题．
【答案】10；30或22.5；20°或（）°或 °或 （）°
540
19
（
60
7
）
540
23
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/4 8:0:5组卷：225引用：1难度：0.5
相似题
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1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A出发沿线段AB以每秒3个单位长的速度运动至点B，过点P作PQ⊥AB交射线AC于点Q，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段AQ的长为 ，线段PQ的长为 .（用含t的代数式表示）
（2）当△APQ与△ABC的周长的比为1：4时，求t的值．
（3）设△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．发布：2025/6/25 4:0:1组卷：19引用：1难度：0.3 -
2．已知等腰直角△ABC的直角边AB=BC=10cm,点P，Q分别从A．C两点同时出发，均以1cm/s的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t,△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式．
（2）当点P在线段AB上时，点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？14
（3）作PE⊥AC于点E，当点P．Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．发布：2025/6/23 23:0:10组卷：243引用：1难度：0.1 -
3．如图，在△ABC中，BC=5，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE相交于点O，BD：CD=2：3，且AE=BE．
（1）求线段AO的长；
（2）动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动．P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△AOQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点，且CF=BO，是否存在t值，使以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/25 5:0:1组卷：190引用：3难度：0.4
