如图，已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边在PC右侧作等腰直角△PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：
（1）如图1，若点P在线段AB上时，猜想PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系 PA2+PB2=PQ2PA2+PB2=PQ2；
（2）如图2，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明；
（3）若动点P满足PAPB=23，求PCAC的值（请利用图3进行探求）．
PA
PB
2
3
PC
AC
【考点】三角形综合题．
【答案】PA2+PB2=PQ2
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/26 16:0:1组卷：483引用：3难度：0.1
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1．【问题呈现】某学校的数学社团成员在学习时遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，过E作EF∥AB交AC的延长线于点F，当BD：DE=1时，试说明：AF+EF=AB；
【方法探究】
社团成员在研究探讨后，提出了下面的思路：
在图1中，延长线段AD，交线段EF的延长线于点M，可以用AAS明△ABD≌△MED，从而得到EM=AB…
（1）请接着完成剩下的说理过程；
【方法运用】
（2）在图1中，若BD：DE=k,则线段AF、EF、AB之间的数量关系为 （用含k的式子表示，不需要证明）；
（3）如图2，若AB=7，EF=6，AF=8，BE=12，求出BD的长；
【拓展提升】
（4）如图3，若DE=2BD，连接AE，已知AB=9，tan∠DAF=，AE=212，且AF＞EF，则边EF的长=．17
发布：2025/5/25 0:0:2组卷：320引用：4难度：0.2 -
2．（1）感知：如图①．AB=AD，AB⊥AD，BF⊥AF于点F，DG⊥AF于点G．求证：△ADG≌△BAF；
（2）拓展：如图②，点B，C在∠MAN的边AM，AN上，点E，F在∠MAN在内部的射线AD上，∠1，∠2分别是△ABE，△CAF的外角，已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）应用：如图③，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC，点在D边BC上，CD=2BD，点E，F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为12，则△ABE与△CDF的面积之和为．
发布：2025/5/24 23:0:1组卷：156引用：2难度：0.3 -
3．在△ABC中，AB=BC，∠B=45°，AD为BC边上的高，M为线段AB上一动点．
（1）如图1，连接CM交AD于Q，若∠ACM=45°，AB=．求线段DQ的长度；2
（2）如图2，点M，N在线段AB上，且AM=BN，连接CM，CN分别交线段AD于点Q、P，若点P为线段CN的中点，求证：AQ+CD=AB；2
（3）如图3，若AD=4，当点M在运动过程中，射线DB上有一点G，满足BM=10DG，AG+2MG的最小值．55
发布：2025/5/24 23:0:1组卷：102引用：1难度：0.1
