如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于C点，抛物线的顶点为D，连接BC、BD．
（1）求点D的坐标；
（2）抛物线上是否存在一点P，使得∠PCB=∠CBD？若存在，求P点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）抛物线上是否存在一点Q，使得以A，D，Q三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求Q点的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）（1，4）；
（2）存在，P点坐标为：（2.5，1.75）或（4，-5）；
（3）存在点Q，使得以A，D，Q三点为顶点的三角形是直角三角形，此时点Q的坐标为（3.5，-2.25），（1.5，3.75），或（2，3）．
（2）存在，P点坐标为：（2.5，1.75）或（4，-5）；
（3）存在点Q，使得以A，D，Q三点为顶点的三角形是直角三角形，此时点Q的坐标为（3.5，-2.25），（1.5，3.75），或（2，3）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/6 14:0:8组卷：791引用：2难度：0.2
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1．如图，抛物线y=x2+bx+c（b、c是常数）的顶点为C，与x轴交于A、B两点，A（1，0），AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D是直线CA上一动点，点E是抛物线上一动点，当P点坐标为（-1，0）且四边形PCDE是平行四边形时，求点D的坐标；
（3）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．发布：2025/6/9 8:30:2组卷：285引用：3难度：0.3 -
2．已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线x=1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）．
（1）求b,c的值；
（2）直线l与x轴相交于点P．
①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x=1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；
②如图2，若直线l与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线l的表达式．
发布：2025/6/9 11:0:1组卷：2058引用：4难度：0.3 -
3．如图，抛物线y=ax2-4ax+3（a≠0）的图象交直线l：y=x+1于A，B两点，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点D．12
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AD，BD，求△ADB的面积；
（3）若抛物线的对称轴上存在一动点E，使EA+ED的值最小，求点E的坐标．发布：2025/6/9 8:30:2组卷：282引用：2难度：0.6
