如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与坐标轴的交点分别为点B和点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点B、点C，且与x轴交于另一点A．点P为线段BC上的一个动点，连接AP，在AP上方作∠APE=∠ABC，PE交抛物线于点E．
（1）请求出抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）如图2，当PE平分∠APC时，请求出PE的长；
（3）点N是y轴上的一点，在（2）的条件下，抛物线上是否存在点M，使得以点M、N、P、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，点A的坐标为（-1，0）；
（2）；
（3）存在，点M的坐标为（2，3）或（-2，-5）或（4，-5）．
（2）
2
（3）存在，点M的坐标为（2，3）或（-2，-5）或（4，-5）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/22 8:0:10组卷：68引用：1难度：0.4
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1．如图，经过原点的抛物线y=-x2+2mx（m＞1）交x轴正半轴于点A，过点P（1，m）作直线PD⊥x轴于点D，交抛物线于点B，记点B关于抛物线对称轴的对称点为C，连接CB，CP．
（1）用含m的代数式表示BC的长．
（2）连接CA，当m为何值时，CA⊥CP？
（3）过点E（1，1）作EF⊥BD于点E，交CP延长线于点F．
①当m=时，判断点F是否落在抛物线上，并说明理由；54
②延长EF交AC于点G，在EG上取一点H，连接CH，若CH=CG，且△PFE与△CHG的面积相等，则m的值是．发布：2025/5/23 18:30:2组卷：403引用：3难度：0.1 -
2．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，顶点D（1，4）在直线l：y=
x+t上，动点P（s,n）在x轴上方的抛物线上．43
（1）写出A点坐标 ；B点坐标 ；C点坐标 ；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；
（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由；
（4）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线y=m（-x2+bx+c）（a≠0）与线段MN只有一个交点，请直接写出m的取值范围 ．
发布：2025/5/23 19:0:2组卷：561引用：3难度：0.2 -
3．已知二次函数y=（m+2）x
+m+3．m2-2
（1）求m的值．
（2）当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？
（3）若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/23 19:0:2组卷：86引用：1难度：0.3
