综合与探究
如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是（-2，0），点C的坐标是（0，2），M是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）P为线段MB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，D点坐标为（m,0），△PCD的面积为S．
①求△PCD的面积S的最大值．
②在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2-x+2．
（2）①S的最大值为；
②点P的坐标为（-，2）或（，）．
（2）①S的最大值为
3
4
②点P的坐标为（-
2
3
3
-
17
2
21
-
3
17
4
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/23 0:0:2组卷：608引用：1难度：0.3
相似题
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1．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）直接填写：a=，b=，顶点C的坐标为；
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．发布：2025/6/17 23:30:2组卷：163引用：1难度：0.4 -
2．如图，在平面直角坐标系中，有抛物线y=ax2+bx+3，已知OA=OC=3OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求过A、B、C三点的圆的半径；
（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由；
（4）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．发布：2025/6/18 12:30:1组卷：410引用：2难度：0.3 -
3．如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．发布：2025/6/18 0:30:4组卷：1978引用：7难度：0.2
