如图1所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转90°至AQ，连接BQ，CP．
（1）图1中线段BQ与CP的数量关系是 BQ=CPBQ=CP，位置关系是 BQ⊥CPBQ⊥CP；
（2）①将点P移动到△ABC之外，其他条件不变，（1）中的两个结论是否仍成立？如果成立，请仅就图2情形进行证明：如果不成立，请说明理由；
②若AB=2AP，BC=8，P是平面内的一点，其他条件不变，当以点B，C，P，Q为顶点的四边形为等腰梯形时，请直接写出等腰梯形两底之间的距离．
【考点】几何变换综合题．
【答案】BQ=CP；BQ⊥CP
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/25 14:0:1组卷：21引用：1难度：0.5
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1．如图①，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点．
（1）观察猜想：△PMN的形状是 ．
（2）探究证明：把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，△PMN的形状是否发生改变？请说明理由．
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AB=3，AD=1，请直接写出△PMN周长的最大值．
发布：2025/6/14 22:30:1组卷：33引用：1难度：0.5 -
2．已知，点D是等边△ABC边AB所在直线AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接DC，以DC为边在DC上方作等边△DCE，连接AE；
操作发现：
（1）如图（1），当动点D在AB上，你能发现线段AE与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；
（2）如图（2），在（1）的条件下，作△DCE关于直线CD对称的△DCF，连接BF，探究AE、BF与BC有何数量关系？并证明你探究的结论；
拓展探究：
（3）如图（3），当动点D在BA的延长线上，其他作法与（2）相同，当AE=5，BF=2时，求BC的长度．
发布：2025/6/14 15:30:1组卷：134引用：2难度：0.2 -
3．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=4，AD=AE=2．连接CD，BE，F，G，H分别是BE，CD，DE的中点，连接GF，FH，GH．
（1）如图1，当B，A，E三点共线，且D在AC边上时，求线段FH，GH的长；
（2）如图2，当△ADE绕点A旋转时，求证：△GFH是等腰直角三角形，并直接写出△GFH面积的最大值．
发布：2025/6/14 15:0:1组卷：139引用：2难度：0.3
