折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D′处，MD′与BC交于点N．
【猜想】MN=CN．
【验证】请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，
∴∠CMD=∠CMD′∠CMD′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC （矩形的对边平行），
∴∠CMD=∠MCN∠MCN（ 两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等），
∴∠CMD′∠CMD′=∠MCN∠MCN（等量代换），
∴MN=CN（ 等角对等边等角对等边）．
【应用】
如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线MD′上，点A落在点A′处，点B落在点B′处，折痕为ME．
（1）猜想MN与EC的数量关系，并说明理由；
（2）若CD=2，MD=4，求EC的长．
【考点】四边形综合题．
【答案】∠CMD′；∠MCN；两直线平行，内错角相等；∠CMD′；∠MCN；等角对等边
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/9 1:0:8组卷：1308引用：9难度：0.4
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1．如图1，在直线l上找一点C，使AC+BC最短，并在图中标出点C．
【简单应用】
（1）如图2，在等边△ABC中，AB=10，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC
的最小值，借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，
EM+MC的最小值就是线段 的长度，则EM+MC的最小值是 ；
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=140°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N，
当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM=°．
【拓展应用】
如图4，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．发布：2025/6/14 2:0:1组卷：166引用：1难度：0.1 -
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（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，CQ=2，求正方形ADBC的边长．2
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