如图，已知抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，求点P的坐标，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
（3）点N坐标为（0，2），点M在抛物线上，且∠NBM=45°，求点M的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=x2-5x+4；
（2）四边形OCPQ为平行四边形，理由见解答过程；点P（2，2）；
（3）（-2，18）或．
（2）四边形OCPQ为平行四边形，理由见解答过程；点P（2，2）；
（3）（-2，18）或
（
4
3
，-
8
9
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/8/24 8:0:8组卷：34引用：2难度：0.5
相似题
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1．如图，抛物线y=-（x-1）2+4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，连结AC，BC．
（1）点A的坐标为 ．点B的坐标为 ．
（2）动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿线段BC向终点C运动，设运动时间为t秒，则当以C，D，E为顶点的三角形与△ACB相似时，求t的值．发布：2025/6/13 1:0:1组卷：333引用：1难度：0.2 -
2．已知：如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3BO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/6/13 5:30:2组卷：4390引用：34难度：0.1 -
3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-5恰好经过A（2，-9），B（4，-5），C（4，-13）三点中的两点．
（1）求该抛物线表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出这个抛物线；
（3）如果直线y=k与该抛物线有交点，那么k的取值范围是 ．发布：2025/6/13 0:30:2组卷：60引用：4难度：0.5
