（1）【母题呈现】如图1，DE是△ABC的中位线，以AB为斜边作Rt△ABF，∠AFB=90°，∠ABF=30°，求证：DE=AF．
（2）【母题变式】如图2，DE是△ABC的中位线，分别以AB、AC为斜边作Rt△ABF和Rt△ACG，∠ABF=∠CAG=30°，∠AFB=∠AGC=90°，作EH⊥AC交CG的延长线于点H，FG与DH交于点O．
①求证：FG=DH；
②求∠FOD的度数．
（3）【拓展应用】如图3，在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作Rt△ABF和Rt△ACG，∠ABF=∠CAG=30°，∠AFB=∠AGC=90°，点P是线段BC上一点，且CP=14BC，连接PF、PG，请写出PF与PG之间的一个等量关系，并证明．
1
4
【考点】三角形综合题．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①证明见解析；
②60°；
（3）PF=PG．
（2）①证明见解析；
②60°；
（3）PF=
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/26 8:0:9组卷：341引用：2难度：0.4
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1．已知动点P以每秒1cm的速度沿图（1）的边框按从B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图（2）中的图象表示．若AB=3cm,试回答下列问题
（1）图（1）中的BC长是多少？
（2）图（2）中的a是多少？
（3）图（1）中的图形面积是多少？
（4）图（2）中的b是多少？发布：2025/6/15 5:30:3组卷：343引用：2难度：0.3 -
2．如图，在平面直角坐标系中，A（a,0），B（b,0），且满足，C在第三象限，坐标为（n+1，n），连接AC，BC，（a+5）2+b-1=0
（1）请直接写出：a=，b=，AB=，S△ABC=（用含n的代数式表示）；
（2）在线段AB上取一点D，连接CD并延长，交y轴于点E，连接AE，BE，
①若S△DCA=2S△DEA，求点E坐标，用含n的代数式表示．
②若S△ADC=S△DBE，求点E坐标．发布：2025/6/15 14:0:2组卷：144引用：1难度：0.1 -
3．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是CB延长线上一点，由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），连接PQ交AB于D，过P作PE⊥AB于E．若两点同时出发，以相同的速度每秒1个单位运动，运动时间为t.
（1）当∠PQC=30°时，求t的值；
（2）求证：PD=DQ；
（3）当P，Q在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．发布：2025/6/15 6:30:1组卷：151引用：1难度：0.4
