在研究三角形中点或中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，此法称为：倍长中线．
（1）【原题呈现】八年级上册课本P27：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD的延长线上，且AD=DE．请证明：△ACD≌△EBD．
（2）【思路探究】如图②，已知线段b,c,m,求作：△ABC，使AC=b,AB=c,BC边上的中线AD=m.请完善以下作图思路，并填写相应的作图依据．
①已知共顶点两边AC，AB，要想作出△ABC，还需要知道∠CAB或BC．若知道∠CAB，则可以根据 SASSAS作出符合条件的△ABC；若知道BC，则可以根据 SSSSSS作出符合条件的△ABC；但目前只知道中线AD，所以不能直接作出△ABC．
②根据第（1）题获得思路，可以作出边为b,c,2m的△ABE．此作图过程需先做出一条线段等于线段m的两倍，然后依据 SSSSSS作出△ABE．
③在AE上截取m得AE的中点D，连接BD并延长至点C，使得 BD=CDBD=CD，可得△ABC．
（3）【迁移运用】请根据上述（1）（2）问的证明和思考过程，直接在图③中作出满足下列条件的三角形（保留作图痕迹，不写作法），若用其他思路，作法正确也可以．
作等腰△ABC，满足腰AB=e,底边BC上的高AD=f.
【考点】三角形综合题．
【答案】SAS；SSS；SSS；BD=CD
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/5 14:0:1组卷：82引用：1难度：0.5
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1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A出发沿线段AB以每秒3个单位长的速度运动至点B，过点P作PQ⊥AB交射线AC于点Q，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段AQ的长为 ，线段PQ的长为 .（用含t的代数式表示）
（2）当△APQ与△ABC的周长的比为1：4时，求t的值．
（3）设△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．发布：2025/6/25 4:0:1组卷：19引用：1难度：0.3 -
2．已知等腰直角△ABC的直角边AB=BC=10cm,点P，Q分别从A．C两点同时出发，均以1cm/s的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t,△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式．
（2）当点P在线段AB上时，点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？14
（3）作PE⊥AC于点E，当点P．Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．发布：2025/6/23 23:0:10组卷：243引用：1难度：0.1 -
3．如图，在△ABC中，BC=5，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE相交于点O，BD：CD=2：3，且AE=BE．
（1）求线段AO的长；
（2）动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动．P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△AOQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点，且CF=BO，是否存在t值，使以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/25 5:0:1组卷：191引用：3难度：0.4
