已知抛物线y=ax2+bx-3（a＞0）与x轴交于A，B两点（点B在x轴正半轴），与y轴交于点C，连接BC，AB=4，∠BCO=45°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在点B，C之间的抛物线上运动（不与点B，C重合），连接OD交BC于点E，连接CD．记△CDE，△COE的面积分别为S1，S2，求S1S2的最大值；
（3）已知抛物线的顶点的为G，过点G的直线l与抛物线的另一个交点为P，直线l与直线l′：y=-174交于点F，过点F作l′的垂线，交抛物线于点Q，过PQ的中点M作MN⊥l′于点N．求证：MN=12PQ．
S
1
S
2
y
=
-
17
4
MN
=
1
2
PQ
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=x2-2x-3；
（2）；
（3）见解析．
（2）
3
4
（3）见解析．
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/27 8:0:9组卷：576引用：6难度：0.5
相似题
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1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；经过点A的直线与y轴正半轴交于点E，与抛物线的另一个交点为D（4，3），其中OA=2．
（1）求此抛物线及直线的解析式；
（2）若点P是直线上方抛物线上的一个动点，当△AEP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ=45°，求点Q的坐标．发布：2025/5/25 1:30:1组卷：146引用：1难度：0.2 -
2．在平面直角坐标系中，抛物线F：y=2（x-m）2+2m（m为常数）的顶点为A．
（1）若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并直接写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；OA=5
（2）当x≤2m时，若函数y=2（x-m）2+2m的最小值为3，求m的值；
（3）分别过点P（4，2）、Q（4，2-2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线F与四边形PQNM的边两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．
①若时，求m值；tan∠CQN=12
②若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，写出m的值．发布：2025/5/25 2:0:6组卷：313引用：1难度：0.2 -
3．在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，5）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/25 2:0:6组卷：3191引用：11难度：0.6
