[问题提出]：如图1，由n×n×n（长×宽×高）个小立方块组成的正方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢？
[问题探究]：我们先从较为简单的情形入手．
（1）如图2，由2×1×1个小立方块组成的长方体中，长共有1+2=2×32=3条线段，宽和高分别只有1条线段，所以图中共有3×1×1=3个长方体．
（2）如图3，由2×2×1个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有1+2=2×32=3条线段，高有1条线段，所以图中共有3×3×1=9个长方体．
（3）如图4，由2×2×2个小立方体组成的正方体中，长、宽、高分别有1+2=2×32=3条线段，所以图中共有 2727个长方体．
（4）由2×3×6个小立方块组成的长方体中，长共有1+2=3×22=3条线段，宽共有 66条线段，高共有 2121条线段，所以图中共有 378378个长方体．
[问题解决]
（5）由n×n×n个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有 n（n+1）2n（n+1）2线段，所以图中共有 n3（n+1）38n3（n+1）38个长方体．
[结论应用]
（6）如果由若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．
2
×
3
2
2
×
3
2
2
×
3
2
3
×
2
2
n
（
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+
1
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2
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n
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1
）
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（
n
+
1
）
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n
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n
+
1
）
3
8
【考点】立体图形．
【答案】27；6；21；378；；
n
（
n
+
1
）
2
n
3
（
n
+
1
）
3
8
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/26 10:0:1组卷：400引用：3难度：0.3
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