问题背景
折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起源于公元1世纪或者2世纪时的中国，6世纪时传入日本，再经由日本传到全世界，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．今天折纸被应用于世界各地，其中比较著名的是日本筑波大学的芳贺和夫发现的折纸几何三定理，它已成为折纸几何学的基本定理．
芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下：
第一步：如图1，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形ABCD展开，得到折痕EF；
第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B'E的位置，得到折痕MN，B'E与AB交于点P．
则点P为AB的三等分点，即AP：PB=2：1．
问题解决
如图1，若正方形ABCD的边长是2．
（1）CM的长为 5454；
（2）请通过计算AP的长度，说明点P是AB的三等分点．
类比探究
（3）将长方形纸片ABCD（AB＞BC）按问题背景中的操作过程进行折叠，如图2，若折出的点P也为AB的三等分点，请直接写出ABAC的值．
5
4
5
4
AB
AC
【考点】四边形综合题．
【答案】
5
4
【解答】
【点评】
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发布：2024/8/23 11:0:11组卷：346引用：3难度：0.2
相似题
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1．探究问题：
（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
证明：延长CB到G，使BG=DE，连接AG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．
变化：在图①中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系 ；
（2）方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想DF，BE，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想．12
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：∠B与∠D满足关系：．12发布：2025/6/24 19:0:1组卷：880引用：1难度：0.1 -
2．已知△ABC是等边三角形，四边形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．
（1）如图①，当AD与边BC相交，点D与点F在直线AC的两侧时，BD与CF的数量关系为．
（2）将图①中的菱形ADEF绕点A旋转α（0°＜α＜180°），如图②．
Ⅰ．判断（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②证明你的结论．
Ⅱ．若AC=4，AD=6，当△ACE为直角三角形时，直接写出CE的长度．发布：2025/6/25 7:30:2组卷：365引用：4难度：0.1 -
3．如图，四边形ABCD是正方形，E是正方形ABCD内一点，F是正方形ABCD外一点，连接BE、CE、DE、BF、CF、EF．
（1）若∠EDC=∠FBC，ED=FB，试判断△ECF的形状，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求BE：BF的值．
（3）在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为（3+3）cm,∠EDC=30°，求△BCF的面积．7发布：2025/6/24 17:30:1组卷：59引用：1难度：0.5
