“折纸”是同学们经常做的手工活动．
【活动一】
如图1，有一张长方形纸片ABCD，AB=30cm,BC=40cm,小明将纸片进行两次折叠，第1次是沿过点B的直线进行折叠，使得点A的对应点A′落在纸片的内部，折痕与边AD交于点E，第2次折叠，在边DC上取一点F，将∠ADC沿EF进行折叠，使得点D落在射线EA′上．
（1）如图1，在第1次折叠中，若点A′恰好落在对角线BD上，则AE=15cm15cm；
（2）用圆规和直尺在图2中作出第2次折叠中的折痕EF（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚），并求出DF的最大值．
【活动二】
如图3，有一张四边形纸片MNPQ，已知∠MQP=∠MNP=90°，MN=45cm,MQ=35cm,PQ=30cm,小明认为他可以用一张边长为35cm的正方形纸片，经过【活动一】中的两次折叠得到与四边形纸片MNPQ一模一样的四边形，小明的想法对吗？请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【答案】15cm
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/2 8:0:9组卷：618引用：3难度：0.5
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1．探究问题：
（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
证明：延长CB到G，使BG=DE，连接AG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．
变化：在图①中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系 ；
（2）方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想DF，BE，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想．12
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：∠B与∠D满足关系：．12发布：2025/6/24 19:0:1组卷：879引用：1难度：0.1 -
2．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④12为定值．其中一定成立的是 ．AB+BNBM发布：2025/6/24 15:0:1组卷：2074引用：8难度：0.5 -
3．如图，四边形ABCD是正方形，E是正方形ABCD内一点，F是正方形ABCD外一点，连接BE、CE、DE、BF、CF、EF．
（1）若∠EDC=∠FBC，ED=FB，试判断△ECF的形状，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求BE：BF的值．
（3）在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为（3+3）cm,∠EDC=30°，求△BCF的面积．7发布：2025/6/24 17:30:1组卷：59引用：1难度：0.5
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