我们知道到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心．在三角形内部到三边距离相等的点是三角形的内心．由此，我们可以引入如下新的概念：
定义1：到三角形两个顶点距离相等的点叫做这个三角形的准外心，如图①，PA=PB，点P叫做△ABC的准外心，也可以称作△ABC边AB上的准外心．
定义2：到三角形的内角两边距离相等的点叫做这个三角形的准内心，如图②，QD⊥AB，QE⊥AC，且QD=QE，则点Q叫做△ABC的准内心，也可以称作△ABC边AB和AC上的准内心．
应用：
（1）如图③，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=12AB，则∠APB=9090°．
（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．
①若点M是△ABC的准内心，且M在边BC上，求CM的长；
②若点N是△ABC的准外心，且是△ABC边CA和CB上的准内心，求CN的值．
PD
=
1
2
AB
【考点】三角形综合题．
【答案】90
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/16 8:0:9组卷：151引用：1难度：0.2
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1．（1）阅读理解：
如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．
发布：2025/6/17 11:0:1组卷：624引用：7难度：0.4 -
2．把一副三角板按如图1摆放（点C与点E重合），点B，C（E），F在同一直线上．∠ACB=∠DFE=90°，∠A=30°，∠DEF=45°，BC=EF=8cm,点P是线段AB的中点．△DEF从图1的位置出发，以4cm/s的速度沿CB方向匀速运动，如图2，DE与AC相交于点Q，连接PQ．当点D运动到AC边上时，△DEF停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当t=1时，求AQ的长；
（2）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（3）当t为何值时，△APQ是直角三角形？
发布：2025/6/17 21:30:1组卷：286引用：3难度：0.1 -
3．已知，如图，在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，B为x轴负半轴上一点．
（1）若BP平分∠ABO，AP平分∠BAO的外角，求∠P．
（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，BP平分∠ABC，且P在AC的垂直平分线上．若∠ABC=2∠ACB，求证：AP∥BC．
（3）在第（2）问的条件下，D是AB上一点，E是x轴正半轴上一点，连AE交DP于H．当∠DHE与∠ABE满足什么条件时，DP=AE，请说明理由．
发布：2025/6/17 19:30:1组卷：75引用：1难度：0.3
