【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接PD，可得△BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等．
【解决问题】如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若AB=3，求PA+PB+PC的最小值 3737．
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【考点】三角形综合题．
【答案】3
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【解答】
【点评】
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发布：2025/5/23 11:0:1组卷：400引用：2难度：0.2
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1．已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D，我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是 ．
（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若∠COD=60°，求证：AC+BD=OC．3发布：2025/5/23 17:0:1组卷：258引用：3难度：0.1 -
2．【问题初探】
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，AB=AC，点D为AB边一点，以BD为腰向下作等腰Rt△BDE，∠DBE=90°．连接CD，CE，点F为CD的中点，连接AF．猜想并证明线段AF与CE的数量关系和位置关系．
【深入探究】
（2）在（1）的条件下，如图2，将等腰Rt△BDE绕点B旋转，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【拓展迁移】
（3）如图3，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．在Rt△BDE中，∠DBE=90°，．连接CD，CE，点F为CD的中点，连接AF．Rt△BDE绕点B旋转过程中，∠BDE=12∠BAC
①线段AF与CE的数量关系为：；
②若，BC=413，当点F在等腰△ABC内部且∠BCF的度数最大时，线段AF的长度为 ．BD=23发布：2025/5/23 17:0:1组卷：944引用：4难度：0.1 -
3．已知CD是△ABC中∠C的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD=m,BD=n.△ADE与△BDF的面积之和为S．
（1）当∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，如图1，若∠B=45°，m=3，则n=，S=；2
（2）如图2，当∠ACB=∠EDF=90°时，
①求证：DE=DF；
②直接写出S与m,n的数量关系；
（3）如图3，当∠ACB=60°，∠EDF=120°，m=6，n=4时，请直接写出S的大小．
发布：2025/5/23 16:0:1组卷：232引用：1难度：0.1
