在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-4ax+2（a≠0）与y轴交于点C．
（1）如图1，当点A（-1，0）时，抛物线y=ax2-4ax+2（a≠0）与x轴交于A，B两点．
①直接写出抛物线的函数关系式和直线BC的解析式，及点A，点B的坐标；
②点P为抛物线在第一象限内的任意一点，点P的横坐标为n,过点P作PF⊥x轴交直线BC于点F．是否存在点P，使线段PF的长度最大，若存在，求出点P的坐标和PF的最大值；若不存在，请说明理由；
③若PF的长度满足13≤PF≤1，请直接写出点P横坐标n的取值范围．
（2）在抛物线y=ax2-4ax+2（a≠0）上的点M，E的横坐标分别为1a，4，连接EM，将线段EM绕点M逆时针旋转90°得线段MD，以EM，MD为邻边作正方形EMDN．当抛物线在正方形EMDN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小或y随x的增大而增大时，求出a的取值范围．
1
3
≤
PF
≤
1
1
a
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）①抛物线的函数关系式为y=-x2+x+2，直线BC的解析式为y=-x+2，A（-1，0），B（5，0）；
②存在点P，使线段PF的长度最大，最大值为，此时点P的坐标为（，）；
③≤n≤或≤n≤；
（2）当a＞或0＜a＜或a≤-，抛物线在正方形EMDN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小或y随x的增大而增大．
2
5
8
5
2
5
②存在点P，使线段PF的长度最大，最大值为
5
2
5
2
7
2
③
15
-
195
6
5
-
15
2
5
+
15
2
15
+
195
6
（2）当a＞
1
2
1
4
1
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/11 8:0:9组卷：132引用：1难度：0.5
相似题
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1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（3，0），点D为线段BC上一动点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连结BE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△COB和△DEB相似时，求点D的坐标；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP=45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/24 18:30:1组卷：140引用：1难度：0.1 -
2．如图，半径为1的⊙O1与x轴交于A，B两点，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，直线BM与y轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）经过坐标原点O的直线l与⊙O1相切，求直线l的解析式；
（3）试问在x轴上是否存在点P，使△PMD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/24 18:30:1组卷：323引用：3难度：0.1 -
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t,试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t,使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/24 18:30:1组卷：4097引用：18难度：0.1
