如图1所示，抛物线y=-12x2+x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图2所示，点P是直线BC上方抛物线上的动点，过点P作直线PE∥y轴交BC于点E，过点P作直线PF⊥AC交x轴于点F，请求出PE+55PF的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线y=-12x2+x+4向左平移72个单位，得到新抛物线y'，点M是新抛物线y'对称轴上一点，N为平面直角坐标系内一点，直接写出所有使得以点B、C、M、N为顶点的菱形的点N的坐标，并写出其中一个点N坐标的求解过程．
1
2
x
2
5
5
1
2
x
2
7
2
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）△ABC的面积为12；
（2）PE+PF最大值为：，此时，点P（，）；
（3）点N的坐标为：（，-）或（，）或（6.5，6.5）．
（2）PE+
5
5
25
4
3
2
35
8
（3）点N的坐标为：（
3
2
103
2
3
2
103
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/11 8:0:9组卷：561引用：2难度：0.4
相似题
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1．如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．发布：2025/6/25 8:30:1组卷：6971引用：21难度：0.1 -
2．给定一个函数，如果这个函数的图象上存在一个点，它的横、纵坐标相等，那么这个点叫做该函数的不变点．
（1）一次函数y=3x-2的不变点的坐标为．
（2）二次函数y=x2-3x+1的两个不变点分别为点P、Q（P在Q的左侧），将点Q绕点P顺时针旋转90°得到点R，求点R的坐标．
（3）已知二次函数y=ax2+bx-3的两个不变点的坐标为A（-1，-1）、B（3，3）．
①求a、b的值．
②如图，设抛物线y=ax2+bx-3与线段AB围成的封闭图形记作M．点C为一次函数y=-x+m的不变点，以线段AC为边向下作正方形ACDE．当D、E两点中只有一个点在封闭图形M的内部（不包含边界）时，求出m的取值范围．13发布：2025/6/25 7:30:2组卷：348引用：2难度：0.1 -
3．如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是直线x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．发布：2025/6/25 6:0:1组卷：1079引用：59难度：0.5
