如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，AD为△ABC的中线．
（1）如图1，求证：△ADC为等腰直角三角形；
（2）如图2，若P为线段DC上一动点（不与点D，C重合），以AP为直角边作等腰直角△APE，其中∠APE=90°，点A，E在直线BC同侧，连接CE，求证：∠ACE=90°；
（3）若P为线段DC延长线上一动点，以AP为直角边作等腰直角△APE，其中∠APE=90°，点A，E在直线BC同侧，且点A关于直线BC对称点记为A'，请在图3上补全图形，求证：A'，C，E三点在同一条直线上．
【考点】几何变换综合题．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）见解析．
（2）见解析；
（3）见解析．
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/11 8:0:9组卷：230引用：1难度：0.3
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1．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，BD平分△ABC的外角∠ABM，AD⊥BD于点D，过B点作BE∥AC交AD于点E．点P在线段AB上（不与端点A点重合），点Q在射线CB上，且CQ=2AP=2t,连结PQ，作P点关于直线BE的对称点N，连结PN，NQ．
（1）求证：∠BAD=∠DBE．
（2）当Q在线段BC上时，PN与AD交于点H，若AH=EH，求HP的长．
（3）①当△PNQ的边与△ABD的AD或BD边平行时，求所有满足条件的t的值．
②当点D在△PNQ内部时，请直接写出满足条件的t的取值范围．发布：2025/5/25 18:30:1组卷：231引用：1难度：0.2 -
2．如图1，把等腰直角三角板AMN放在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，4），∠MAN=90°，AM=AN．三角板AMN绕点A逆时针旋转，AM、AN与x轴分别交于点D、E，∠AOE、∠AOD的角平分线OG、OH分别交AN、AM于点B、C．点P为BC的中点．
（1）求证：AB=AC；
（2）如图2，若点D的坐标为（-3，0），求线段BC的长度；
（3）在旋转过程中，若点D的坐标从（-8，0）变化到（-2，0），则点P的运动路径长为
（直接写出结果）．发布：2025/5/25 19:0:2组卷：72引用：1难度：0.2 -
3．如图1，等边△ABC中，点P是BC边上一点，作点C关于直线AP的对称点D，连接CD，BD，作AE⊥BD于点E；
（1）若∠PAC=10°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD的度数；
（2）如图2，若∠PAC=α（0°＜α＜30°），
①求证：∠BCD=∠BAE；
②用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系 ．发布：2025/5/25 19:30:2组卷：186引用：2难度：0.3
