【模型发现】如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），过点D作垂直于AE的一条直线DF，垂足为G，交AB于点F．小明发现可以通过证明：△DAF≌△ABE得AE=DF．（不需证明）
【模型探究】（1）如图2，在正方形ABCD中，P为边BC上一点（不与点B、C重合），M为线段CD上一点（不与C、D重合），过点M作MN⊥AP，垂足为G，交AB于点N，请直接写出线段DM、BN、CP之间的数量关系．
（2）如图3，在（1）的条件下，若垂足G恰好为AP的中点，连接BD，交MN于点H，连接PH并延长交边AD于点I，再连接BG，请探究线段BG、GH的数量关系；
【拓展应用】（3）如图4，若正方形ABCD的边长为8，点M、N分别为边CD、AB上的点，过点A作AG⊥MN，已知AG=5，将正方形ABCD沿着MN翻折，BC的对应边B'C′恰好经过点A，连接C'M交AD于点Q．过点Q作QR⊥MN，垂足为R，求线段QR的长．（直接写出结论即可）
【考点】几何变换综合题．
【答案】（1）AN=DM+BP，PC=BN+DM．理由见解析；
（2）BG=GH；
（3）．
（2）BG=GH；
（3）
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7
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/22 15:0:8组卷：442引用：1难度：0.3
相似题
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1．如图①，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点．
（1）观察猜想：△PMN的形状是 ．
（2）探究证明：把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，△PMN的形状是否发生改变？请说明理由．
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AB=3，AD=1，请直接写出△PMN周长的最大值．
发布：2025/6/14 22:30:1组卷：33引用：1难度：0.5 -
2．已知，点D是等边△ABC边AB所在直线AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接DC，以DC为边在DC上方作等边△DCE，连接AE；
操作发现：
（1）如图（1），当动点D在AB上，你能发现线段AE与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；
（2）如图（2），在（1）的条件下，作△DCE关于直线CD对称的△DCF，连接BF，探究AE、BF与BC有何数量关系？并证明你探究的结论；
拓展探究：
（3）如图（3），当动点D在BA的延长线上，其他作法与（2）相同，当AE=5，BF=2时，求BC的长度．
发布：2025/6/14 15:30:1组卷：134引用：2难度：0.2 -
3．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=4，AD=AE=2．连接CD，BE，F，G，H分别是BE，CD，DE的中点，连接GF，FH，GH．
（1）如图1，当B，A，E三点共线，且D在AC边上时，求线段FH，GH的长；
（2）如图2，当△ADE绕点A旋转时，求证：△GFH是等腰直角三角形，并直接写出△GFH面积的最大值．
发布：2025/6/14 15:0:1组卷：139引用：2难度：0.3
