定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”．
例如：y=（x-1）2-2的“同轴对称抛物线”为y=-（x-1）2+2．
（1）求抛物线y=-12x2+x+1的“同轴对称抛物线”；
（2）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y=ax2-4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B′、C′，连接BC、CC′、B′C′、BB′．
①当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值；
②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图象与一次函数y=x-1相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图象向上平移得到新的抛物线L'与一次函数y=x-1相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足PM+QN=MN，在抛物线L'上有且仅有三个点R1，R2，R3使得△MNR1，△MNR2，△MNR3的面积均为定值S，求R1，R2，R3的坐标．
y
=
-
1
2
x
2
+
x
+
1
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=（x-1）2-；
（2）①a=；
②点R（即R1，R2，R3）的坐标为：（，）或（，）或（，）．
1
2
3
2
（2）①a=
2
3
②点R（即R1，R2，R3）的坐标为：（
5
4
53
12
5
+
10
2
4
-
47
+
30
2
12
5
-
10
2
4
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47
-
30
2
12
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/5 3:0:9组卷：238引用：1难度：0.3
相似题
-
1．如图，二次函数y=ax2-6ax-16a（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C，点D在抛物线上，CD∥x轴，且OD=AB．
（1）求点A，B的坐标及a的值；
（2）点P为y轴右侧抛物线上一点．
①如图①，若OP平分∠COD，OP交CD于点E，求点P的坐标；
②如图②，抛物线上一点F的横坐标为2，直线CF交x轴于点G，过点P作直线CF的垂线，垂足为Q，若∠PCQ=∠BGC，求点Q的坐标．
发布：2025/6/16 7:30:1组卷：1429引用：4难度：0.1 -
2．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y=-2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于M，N两点．
证明：当直线l绕点F旋转时，+1MF是定值，并求出该定值；1NF
（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．
发布：2025/6/16 5:0:1组卷：2172引用：5难度：0.4 -
3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A（-5，0），B（-4，-3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接BD，CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）若点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/16 5:30:3组卷：1379引用：2难度：0.1
