探究式学习是新课程倡导的重要学习方法,某数学兴趣小组拟做以下探究.
如图,在△ABC中,BD、CE分别是AC、AB上的高,点G在直线CE上,CG=AB,点F在直线BD上,BF=AC,FN⊥BC于点N,GM⊥BC于点M.探究线段BC,FN,GM之间的数量关系.

(1)如图①,当△ABC是锐角三角形时,线段BC,FN,GM之间的数量关系是 BC=GM+FNBC=GM+FN.
“善思小组”通过探究后发现解决此问题的方法:过点A作AP⊥BC于点P,利用全等三角形的性质进而得证.请你写出证明过程.
下面是小强的部分证明过程,仔细阅读并完成相应的任务.
证明:过点A作AP⊥BC于点P. ∴∠APB=90°. ∴∠BAP+∠ABP=90°. ∵CE⊥AB, ∴∠BCE+∠ABP=90°. ∴∠BAP=∠BCE. ∵GM⊥BC, ∴∠CMG=90°. |
∴∠APB=∠CMG=90°. 在△APB和△CMG中, ∵∠BAP=∠GCM, ∠APB=∠CMG,AB=CG, ∴△APB≌△CMG(AAS). ∴BP=GM. |
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(2)通过类比、转化、猜想,探究出:当△ABC是钝角三角形,且AB>AC时,如图②线段BC,FN,GM之间的数量关系是
BC=GM-FN
BC=GM-FN
;当△ABC是钝角三角形,且AB<AC时,如图③,线段BC,FN,GM之间的数量关系是 BC=FN-GM
BC=FN-GM
.(3)“智慧小组”继续对上述问题进行特殊化研究后,提出下面问题请你解答:
在(1)和(2)的条件下,若MN=2BC=8,CD:AD=1:3,则S△BCD=
3或6
3或6
.【考点】三角形综合题.
【答案】BC=GM+FN;BC=GM-FN;BC=FN-GM;3或6
【解答】
【点评】
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发布:2024/10/3 0:0:1组卷:65引用:1难度:0.4
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1.(1)如图1,在△ABC中,∠ACB=2∠B,CD平分∠ACB,交AB于点D,DE∥AC,交BC于点E.
①若DE=1,BD=,求BC的长;32
②试探究-ABAD是否为定值.如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.BEDE
(2)如图2,∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角,∠BCF=2∠CBG,CD平分∠BCF,交AB的延长线于点D,DE∥AC,交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S1,△CDE的面积为S2,△BDE的面积为S3.若S1•S3=916,求cos∠CBD的值.S22发布:2025/6/10 12:30:1组卷:4095引用:8难度:0.3 -
2.已知△ABC是边长为4的等边三角形,点D是射线BC上的动点,将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE,连接DE.
(1)如图1,猜想△ADE是什么三角形?;(直接写出结果)
(2)如图2,点D在射线CB上(点C的右边)移动时,证明∠BCE+∠BAC=180°.
(3)点D在运动过程中,△DEC的周长是否存在最小值?若存在.请求出△DEC周长的最小值;若不存在,请说明理由.发布:2025/6/10 12:30:1组卷:278引用:2难度:0.1 -
3.如图,在△ABC中,AB=AC.
(1)如图1,在△ABC内取点D,连接AD,BD,将AD绕点A逆时针旋转至AE,∠BAC=∠DAE,连接BE,CE,∠BCE=120°,若BE=2BD=4,求BC的长;
(2)如图2,点D为BC中点,点E在CA的延长线上,连接ED交AB于点F,EF=FD,连接EB并延长至点G,连接GD,若∠BGD=60°,BF=GD,求证:GD=BG+DF;
(3)如图3,∠ABC=60°,点D在BC的延长线上,连接AD,在AD上取点E,AE=2DE,连接BE,CE,若BD=12,当CE取最小值时,直接写出△BED的面积.发布:2025/6/10 11:30:1组卷:474引用:4难度:0.2