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探究式学习是新课程倡导的重要学习方法,某数学兴趣小组拟做以下探究.
如图,在△ABC中,BD、CE分别是AC、AB上的高,点G在直线CE上,CG=AB,点F在直线BD上,BF=AC,FN⊥BC于点N,GM⊥BC于点M.探究线段BC,FN,GM之间的数量关系.

(1)如图①,当△ABC是锐角三角形时,线段BC,FN,GM之间的数量关系是
BC=GM+FN
BC=GM+FN

“善思小组”通过探究后发现解决此问题的方法:过点A作AP⊥BC于点P,利用全等三角形的性质进而得证.请你写出证明过程.
下面是小强的部分证明过程,仔细阅读并完成相应的任务.
证明:过点A作AP⊥BC于点P.
∴∠APB=90°.
∴∠BAP+∠ABP=90°.
∵CE⊥AB,
∴∠BCE+∠ABP=90°.
∴∠BAP=∠BCE.
∵GM⊥BC,
∴∠CMG=90°.
∴∠APB=∠CMG=90°.
在△APB和△CMG中,
∵∠BAP=∠GCM,
∠APB=∠CMG,AB=CG,
∴△APB≌△CMG(AAS).
∴BP=GM.
请你补全余下的证明过程.
(2)通过类比、转化、猜想,探究出:当△ABC是钝角三角形,且AB>AC时,如图②线段BC,FN,GM之间的数量关系是
BC=GM-FN
BC=GM-FN
;当△ABC是钝角三角形,且AB<AC时,如图③,线段BC,FN,GM之间的数量关系是
BC=FN-GM
BC=FN-GM

(3)“智慧小组”继续对上述问题进行特殊化研究后,提出下面问题请你解答:
在(1)和(2)的条件下,若MN=2BC=8,CD:AD=1:3,则S△BCD=
3或6
3或6

【考点】三角形综合题
【答案】BC=GM+FN;BC=GM-FN;BC=FN-GM;3或6
【解答】
【点评】
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发布:2024/10/3 0:0:1组卷:65引用:1难度:0.4
相似题
  • 1.(1)如图1,在△ABC中,∠ACB=2∠B,CD平分∠ACB,交AB于点D,DE∥AC,交BC于点E.
    ①若DE=1,BD=
    3
    2
    ,求BC的长;
    ②试探究
    AB
    AD
    -
    BE
    DE
    是否为定值.如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
    (2)如图2,∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角,∠BCF=2∠CBG,CD平分∠BCF,交AB的延长线于点D,DE∥AC,交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S1,△CDE的面积为S2,△BDE的面积为S3.若S1•S3=
    9
    16
    S
    2
    2
    ,求cos∠CBD的值.

    发布:2025/6/10 12:30:1组卷:4095引用:8难度:0.3
  • 2.已知△ABC是边长为4的等边三角形,点D是射线BC上的动点,将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE,连接DE.

    (1)如图1,猜想△ADE是什么三角形?
    ;(直接写出结果)
    (2)如图2,点D在射线CB上(点C的右边)移动时,证明∠BCE+∠BAC=180°.
    (3)点D在运动过程中,△DEC的周长是否存在最小值?若存在.请求出△DEC周长的最小值;若不存在,请说明理由.

    发布:2025/6/10 12:30:1组卷:278引用:2难度:0.1
  • 3.如图,在平面直角坐标系中,点A(4,0),B(0,4).点C为线段AB上一点.
    (1)∠OBA=

    (2)若BC=
    2
    ,点P的横坐标为3,求OP+CP的最小值;
    (3)连接OC,使∠BOC=15°,点M是直线AB上一动点,以OM为边在OM的下方作等边△OMN,连接CN,求CN的最小值.

    发布:2025/6/10 15:0:1组卷:304引用:2难度:0.1
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