如图1，抛物线y=ax2+bx-4a经过A（-1，0），C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC面积最大的点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，若抛物线的对称轴EF（E为抛物线顶点）与直线BC相交于点F，M为直线BC上的任意一点，过点M作MN∥EF交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线的解析式：y=-x2+3x+4；直线BC的解析式为y=-x+4；
（2）当P（2，6）时，四边形PBOC面积最大；
（3）能，点N的坐标为或或．
（2）当P（2，6）时，四边形PBOC面积最大；
（3）能，点N的坐标为
（
5
2
，
21
4
）
（
2
+
1
2
31
，-
7
4
-
1
2
31
）
（
2
-
1
2
31
，-
7
4
+
1
2
31
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/8/20 5:0:1组卷：42引用：2难度：0.1
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1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y=-x2+2x+3经过点A、C、A′三点．
（1）求A、A′、C三点的坐标；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．发布：2025/6/19 9:0:1组卷：1341引用：51难度：0.5 -
2．如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且5=ODOE，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=-43x2+116x+c经过点E，且与AB边相交于点F．12
（1）求证：△ABD∽△ODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；
（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．发布：2025/6/19 9:0:1组卷：1930引用：51难度：0.5 -
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y=-x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点，∠APO=∠ACB，求AP的长；
（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/19 22:30:1组卷：1975引用：14难度：0.1
