综合与探究
如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A（-3，0），B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=x2+bx+c及直线AC的函数表达式．
（2）如图2，P是直线AC下方的抛物线上的一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交直线AC于点D，当S△CQDS△CPD=12时，求点P的坐标．
（3）如图3，过点O作OM⊥AC于点M，将线段OM所在的直线沿着x轴平移，使得平移后的直线交x轴于点E，交抛物线于点F，是否存在点F，使得四边形OMEF是平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
S
△
CQD
S
△
CPD
=
1
2
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=x2+2x-3，直线BC的表达式为：y=-x-3；
（2）点P（-2，-3）；
（3）存在，F（，）或（，）．
（2）点P（-2，-3）；
（3）存在，F（
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5
+
22
2
3
2
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5
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22
2
3
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【解答】
【点评】
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发布：2024/8/28 8:0:8组卷：99引用：1难度：0.3
相似题
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1．如图1，已知在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A（-1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）设△COB沿x轴正方向平移t（0＜t≤3）个单位长度时，△COB与△CDB重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围；
考生请注意：下面的（3），（4），（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记哟！
（3）点P是x轴上的一个动点，过点P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设点Q是y轴右侧抛物线上异于点B的点，过点Q作QP∥x轴交抛物线于另一点P，过P作PH⊥x轴，垂足为H，过Q作QG⊥x轴，垂足为G，则四边形QPHG为矩形．试探究在点Q运动的过程中矩形QPHG能否成为正方形？若能，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不能，请说明理由；
（5）试探究，在y轴右侧的抛物线上是否存在一点Q，使△QDC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/6/18 19:30:1组卷：406引用：50难度：0.5 -
2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3m）（其中m＞0），顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；
（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？
发布：2025/6/18 19:30:1组卷：2426引用：50难度：0.1 -
3．已知二次函数y=x2-2mx+m2-1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．发布：2025/6/18 19:30:1组卷：2929引用：87难度：0.5
