【问题原型】如图①，在△ABC中，点D是AB的中点，连结CD，CD=12AB．求证：∠ACB=90°．
请补全证明过程．
证明：如图①，∵点D是AB的中点（已知），
∴AD=BD=12AB（中点定义）．
∵CD=12AB（已知），
∴CD=AD=BD（等量代换）．
∴∠ACD=∠CAD∠CAD，∠DCB=∠DBC∠DBC（ 等边对等角等边对等角）．（填推理依据）
∵∠A+∠B+∠DCB+∠ACD=180°，
∴∠ACD+∠DCB=90°．
∴∠ACB=90°．
【结论应用】如图②，△ABC中，点D是AB的中点，连结CD，将△ACD沿CD翻折得到△A′CD，连结AA'，交CD于点O，连结A'B．请判断A'B与CD的位置关系，并说明理由．
【应用拓展】如图③，在▱ABCD中，∠A＜90°，点E是边AB的中点，连结DE，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，连结BA'并延长，交CD于点F．若AB=5，AD=3，S▱ABCD=12，则BF的长为 5252．
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【考点】四边形综合题．
【答案】∠CAD；∠DBC；等边对等角；
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【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：276引用：2难度：0.2
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1．（1）【问题发现】
如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为．
（2）【拓展探究】
在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，请判断线段BE与AF的数量关系，并就图2的情形说明理由．
（3）【问题解决】
当AB=AC=2，且第（2）中的正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时，请直接写出线段AF的长．
发布：2025/5/24 21:30:1组卷：328引用：4难度：0.2 -
2．知识再现：已知，如图1，四边形ABCD是正方形，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN，且∠MAN=45°，延长CB至G使BG=DN，连接AG，根据三角形全等的知识，我们可以证明MN=BM+DN．
知识探究：（1）如图1，作AH⊥MN，垂足为点H，猜想AH与AB有什么数量关系？并进行证明．
知识运用：（2）如图2，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，F为边CD上一点，且∠FEC=2∠BAE，AB=24，求DF的长．
知识拓展：（3）已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，AD=6，求CD的长．
发布：2025/5/24 21:0:1组卷：268引用：2难度：0.4 -
3．已知：线段EF和矩形ABCD如图①摆放（点E与点B重合），点F在边BC上EF=1cm,AB=4cm,BC=8cm.如图②．EF从图①的位置出发，沿BC方向运动，速度为1cm/s；动点P同时从点D出发，沿DA方向运动，速度为1cm/s.点M为AB的中点，连接PM，ME，DF，PM与AC相交于点Q，设运动时间为（s）（0＜1≤7）．解答下列问题：
（1）当PM⊥AC时，求r的值；
（2）设五边形PMEFD的面积为S（cm2），求S与t的关系式；
（3）当ME∥AC时，求线段AQ的长；
（4）当t为何值时，五边形DAMEF的周长最小，最小是多少？直接写出答案即可）
发布：2025/5/24 21:0:1组卷：133引用：1难度：0.1
