已知二次函数y=ax2+bx+c（0＜a＜1）的最小值为1，且直线y=x-34与二次函数图象的两个交点的横坐标分别为2和4．
（1）求二次函数的表达式．
（2）如图1，以点H（1，h）（h＞32）为圆心，12为半径作圆，抛物线y=ax2+bx+c上仅有唯一点J，使得过点J向⊙H作切线的切线段JK长度最小，求h的取值范围．
（3）如图2，过定点F（1，2）的直线y=kx-k+2（k＞0）与抛物线y=ax2+bx+c交于A、B两个不同点，与x轴交于R点，令θ=∠ARO（O为坐标原点．
（i）判断以A为圆心，AF为半径的圆与x轴的位置关系，并加以证明．
（ii）cosθ为何值时，x轴上存在点Q，使得△ABQ为等边三角形，并求出此时△ABQ的面积．
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【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=x2-x+；
（2）＜h≤3；
（3）（i）证明见解答；（ii）cosθ=，△ABQ的面积=36．
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（2）
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（3）（i）证明见解答；（ii）cosθ=
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【解答】
【点评】
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发布：2024/9/29 0:0:1组卷：130引用：1难度：0.2
相似题
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1．如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．发布：2025/6/25 8:30:1组卷：6971引用：21难度：0.1 -
2．给定一个函数，如果这个函数的图象上存在一个点，它的横、纵坐标相等，那么这个点叫做该函数的不变点．
（1）一次函数y=3x-2的不变点的坐标为．
（2）二次函数y=x2-3x+1的两个不变点分别为点P、Q（P在Q的左侧），将点Q绕点P顺时针旋转90°得到点R，求点R的坐标．
（3）已知二次函数y=ax2+bx-3的两个不变点的坐标为A（-1，-1）、B（3，3）．
①求a、b的值．
②如图，设抛物线y=ax2+bx-3与线段AB围成的封闭图形记作M．点C为一次函数y=-x+m的不变点，以线段AC为边向下作正方形ACDE．当D、E两点中只有一个点在封闭图形M的内部（不包含边界）时，求出m的取值范围．13发布：2025/6/25 7:30:2组卷：348引用：2难度：0.1 -
3．如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是直线x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．发布：2025/6/25 6:0:1组卷：1079引用：59难度：0.5
