小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题做如下探究：
【问题背景】
如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系．小明同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=CD，从而得出结论：AC+BC=2CD．
【简单应用】
（1）在图①中，若AB=5，BC=4，则CD2=492492．
（2）如图③，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，点B和点D分别在边AM和AN上移动，且满足∠BCD与∠BAD互补，CB=CD，AC=6，则以下结论：
①AB+AD的值不变；
②∠BAC=∠DAC恒成立；
③BD的长不变；
④四边形ABCD的面积不变，其中正确的序号有 ①②④①②④．
【拓展延伸】
（3）如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=a,BC=b（a＜b），求CD2的长．（用含a、b的代数式表示）．
（4）如图⑤，∠ACB=90°，AC=BC=13，点P为AB的中点，若点E满足AE=10，CE=CA，点Q为AE的中点，则PQ2=2892或4922892或492．
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【考点】几何变换综合题．
【答案】；①②④；或
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【解答】
【点评】
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发布：2024/9/15 13:0:8组卷：436引用：1难度：0.3
相似题
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1．已知，点D是等边△ABC边AB所在直线AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接DC，以DC为边在DC上方作等边△DCE，连接AE；
操作发现：
（1）如图（1），当动点D在AB上，你能发现线段AE与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；
（2）如图（2），在（1）的条件下，作△DCE关于直线CD对称的△DCF，连接BF，探究AE、BF与BC有何数量关系？并证明你探究的结论；
拓展探究：
（3）如图（3），当动点D在BA的延长线上，其他作法与（2）相同，当AE=5，BF=2时，求BC的长度．
发布：2025/6/14 15:30:1组卷：134引用：2难度：0.2 -
2．如图①，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点．
（1）观察猜想：△PMN的形状是 ．
（2）探究证明：把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，△PMN的形状是否发生改变？请说明理由．
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AB=3，AD=1，请直接写出△PMN周长的最大值．
发布：2025/6/14 22:30:1组卷：33引用：1难度：0.5 -
3．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=4，AD=AE=2．连接CD，BE，F，G，H分别是BE，CD，DE的中点，连接GF，FH，GH．
（1）如图1，当B，A，E三点共线，且D在AC边上时，求线段FH，GH的长；
（2）如图2，当△ADE绕点A旋转时，求证：△GFH是等腰直角三角形，并直接写出△GFH面积的最大值．
发布：2025/6/14 15:0:1组卷：139引用：2难度：0.3
