如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC=9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA=3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y=-x2+2bx+b-1（b＞0），当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=-x2+9；
（2）点P的位置见解答；P点的坐标为（0，6）；
（3）b的取值范围为．
（2）点P的位置见解答；P点的坐标为（0，6）；
（3）b的取值范围为
b
≥
46
13
【解答】
【点评】
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发布：2024/5/22 8:0:8组卷：3519引用：15难度：0.3
相似题
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1．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．43
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．发布：2025/6/19 7:0:2组卷：12490引用：72难度：0.1 -
2．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，-1），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△MAB的形状，并说明理由；
（3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC，MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．发布：2025/6/19 7:0:2组卷：2344引用：56难度：0.1 -
3．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=-
x2+12的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC．427
（1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
（2）过点C作射线CD∥AB，点M是线段AB上的动点，点P是线段AC上的动点，且始终满足BM=AP（点M不与点A，点B重合），过点M作MN∥BC分别交AC于点Q，交射线CD于点N （点Q不与点P重合），连接PM，PN，设线段AP的长为n.
①如图2，当n＜AC时，求证：△PAM≌△NCP；12
②直接用含n的代数式表示线段PQ的长；
③若PM的长为，当二次函数y=-97x2+12的图象经过平移同时过点P和点N时，请直接写出此时的二次函数表达式．427发布：2025/6/19 7:0:2组卷：3101引用：50难度：0.1
