综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，OA=1，OB=4，D为抛物线的顶点，连接BD，CD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）顶点D的坐标为 （32，254）（32，254）；已知点Q（m,n）在抛物线上，当-1≤m≤4时，则n的取值范围为 0≤m≤2540≤m≤254；
（3）Q是线段BD上的一个动点，连接AQ，当线段AQ最短时，请求出点Q的坐标；
（4）若M是对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以O，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（
3
2
，
25
4
）
（
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2
，
25
4
）
0
≤
m
≤
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4
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【考点】二次函数综合题．
【答案】；
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m
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25
4
【解答】
【点评】
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发布：2024/5/8 8:0:8组卷：88引用：2难度：0.3
相似题
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1．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象，经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点，过点C，D（-3，0）的直线与抛物线的另一交点为E．
（1）请你直接写出：
①抛物线的解析式；
②直线CD的解析式；
③点E的坐标（，）；
（2）如图1，若点P是x轴上一动点，连接PC，PE，则当点P位于何处时，可使得∠CPE=45°，请你求出此时点P的坐标；
（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，作QH⊥x轴于H，连接QA，QB，当QB平分∠AQH时，请你直接写出此时点Q的坐标．
发布：2025/5/24 2:0:8组卷：1271引用：3难度：0.1 -
2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=
x2+bx+c过点A（-2，-1），B（0，-3）．12
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m,n）（m＞0）．
ⅰ．如果S△OBP=3，设直线x=k,在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；
ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ=120°，求点P的坐标．发布：2025/5/24 1:0:1组卷：3109引用：3难度：0.4 -
3．如图1，抛物线y=ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．
（1）①求点A的坐标；②求证：CE=DE；
（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE=∠OBE时，a=-233
①求证：AB2=AC•BE；②求的值．1OD-1OE发布：2025/5/24 1:0:1组卷：575引用：1难度：0.3
