已知若椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）交x轴于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，则AN•BM为定值b2-a2．
（1）若将双曲线与椭圆类比，试写出类比得到的命题；
（2）判定（1）类比得到命题的真假，请说明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
AN
•
BM
【答案】（1）若双曲线C：（a＞0，b＞0））交x轴于A，B两点，点P是双曲线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，则为定值-（a2+b2）．
（2）证明：不妨设A（-a，0），B（a，0），P（x0，y0），则，
∴直线PA方程为．
令x=0，则，
∴点M坐标为．
又B（a，0），
∴．
同法可求得．
∴．
又∵，
∴．
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
AN
•
BM
（2）证明：不妨设A（-a，0），B（a，0），P（x0，y0），则
k
PA
=
y
0
-
0
x
0
-
（
-
a
）
=
y
0
x
0
+
a
∴直线PA方程为
y
=
y
0
x
0
+
a
（
x
+
a
）
令x=0，则
y
=
a
y
0
x
0
+
a
∴点M坐标为
（
0
，
a
y
0
x
0
+
a
）
又B（a，0），
∴
BM
=
（
-
a
，
a
y
0
x
0
+
a
）
同法可求得
AN
=
（
a
，
-
a
y
0
x
0
-
a
）
∴
AN
•
BM
=
-
a
2
-
a
2
y
2
0
x
2
0
-
a
2
又∵
x
2
0
a
2
-
y
2
0
b
2
=
1
∴
AN
•
BM
=
-
a
2
-
a
2
x
2
0
-
a
2
•
[
b
2
•
（
x
2
0
a
2
-
1
）
]
=
-
（
a
2
+
b
2
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：199引用：8难度：0.7
