【问题探究】：
如图1，△ABC中，点D为AC的中点，过点D的直线分别交边AB于点E、交BC延长线于点F，过点C作CG∥AB交EF于G．
（1）求证：S△ABC=S梯BCGE；
（2）若BC=10，S△ABC：S△BEF=45：49，求CF长．
【迁移应用】：
如图2，矩形ABCD中AB=9，BC=12，点P、Q分别是BC、AD上的动点，DQ=2BP，PQ交BD于点O，过点O的直线交AB、BC于点M、N．
（1）当MN⊥BD时，求△BMN面积；
（2）请在图3中只用圆规画出点M、N的位置，使△BMN的面积最小（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】问题探究：（1）证明过程见解答；（2）CF=4；
迁移应用：（1），（2）作图见解答．
迁移应用：（1）
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24
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/1 8:0:9组卷：143引用：1难度：0.4
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1．如图，△ABC中，AB=AC，AD∥BC．
（1）用圆规和直尺作△ABC的外接圆⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=AC=5，BC=6，求⊙O的半径．发布：2025/1/20 8:0:1组卷：110引用：2难度：0.3 -
2．如图，点P在∠O的一边OA上，点Q在∠O的另一边OB上，按下列要求画图：
（1）过点P，Q的直线；
（2）过点P平行于OB的直线，过点Q平行于OA的直线，两直线相交于点M；
（3）请测量所作图中的线段，看有哪些线段的长度是相等的．发布：2024/12/23 17:30:9组卷：12引用：1难度：0.6 -
3．下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：
已知：如图，直线l和直线l外一点A
求作：直线AP，使得AP∥l
作法：如图
①在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．
②连接AC，AB，延长BA到点D；
③作∠DAC的平分线AP．
所以直线AP就是所求作的直线
根据小星同学设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（填推理的依据）
∵∠DAC是△ABC的外角，
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB（填推理的依据）
∴∠DAC=2∠ABC
∵AP平分∠DAC，
∴∠DAC=2∠DAP
∴∠DAP=∠ABC
∴AP∥l（填推理的依据）发布：2024/12/23 14:30:1组卷：173引用：8难度：0.5
