已知双曲线C：x2a2-y2b2=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若l过原点，P为双曲线上异于A，B的一点，且直线PA、PB的斜率kPA，kPB均存在，求证：kPA•kPB为定值；
（3）若l过双曲线的右焦点F1，是否存在x轴上的点M（m,0），使得直线l绕点F1无论怎样转动，都有MA•MB=0成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
x
2
a
2
y
2
b
2
MA
MB
【考点】直线与双曲线的综合．
【答案】（1）；
（2）证明：设A（x0，y0），由双曲线的对称性，可得B（-x0，-y0）．
设P（x，y），
则kPA•kPB=，
∵=3-3，y2=3x2-3，
所以kPA•kPB==3；
（3）M（-1，0）．
x
2
-
y
2
3
=
1
（2）证明：设A（x0，y0），由双曲线的对称性，可得B（-x0，-y0）．
设P（x，y），
则kPA•kPB=
y
2
-
y
0
2
x
2
-
x
0
∵
y
2
0
x
2
0
所以kPA•kPB=
y
2
-
y
0
2
x
2
-
x
0
（3）M（-1，0）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：625引用：5难度：0.3
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