如图，直线l交x轴、y轴的正半轴分别于E、D点，OE=4，∠OED=45°，有抛物线y=ax2+（1-2a）x-2（a＞0）．
（1）直接写出直线l的解析式；
（2）求证：当a（a＞0）变化时，抛物线与x轴恒有两个交点；
（3）当a（a＞0）变化时，抛物线是否恒经过定点？若经过，求出所有定点坐标，若不经过，说明理由；
（4）根据第（2）、（3）问的结论在图中画出抛物线的大致图象，设直线l与抛物线交于M、N两点，探究：在直线l上是否存在点P．使得无论a（a＞0）怎么变化，PM•PN恒为定值？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，并说明点P是否在线段MN上；若不存在，请说明理由．（参考公式：平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的距离为：AB=（x2-x1）2+（y2-y1）2）
（
x
2
-
x
1
）
2
+
（
y
2
-
y
1
）
2
）
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x+4；
（2）见解答；
（3）函数过定点，定点坐标为：（0，-2）、（2，0）；
（4）存在，符合条件点P的坐标为：（3，1），点P不在线段MN上．
（2）见解答；
（3）函数过定点，定点坐标为：（0，-2）、（2，0）；
（4）存在，符合条件点P的坐标为：（3，1），点P不在线段MN上．
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/10/2 7:0:2组卷：60引用：1难度：0.3
相似题
-
1．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如（-3，-3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不动点”．已知双曲线
．y=9x
（1）下列说法不正确的是 ．
A．直线y=x的图象上有无数个“不动点”
B．函数的图象上没有“不动点”y=-1x
C．直线y=x+1的图象上有无数个“不动点”
D．函数y=x2的图象上有两个“不动点”
（2）求双曲线上的“不动点”；y=9x
（3）若抛物线y=ax2-3x+c（a、c为常数）上有且只有一个“不动点”，
①当a＞1时，求c的取值范围．
②如果a=1，过双曲线图象上第一象限的“不动点”作平行于x轴的直线l,若抛物线上有四个点到l的距离为m,直接写出m的取值范围．y=9x发布：2025/5/24 13:30:2组卷：1194引用：10难度：0.3 -
2．如图①，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得S△MAC=S△ABC？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）如图②，P是抛物线上一点，点Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d,△QPB的面积为2d,且∠PAQ=∠AQB，求点Q的坐标．
发布：2025/5/24 13:30:2组卷：77引用：1难度：0.1 -
3．如图，顶点为M的抛物线与x轴交于A（3，0），B（-1，0）两点，与y轴交于点C．L1：y=ax2+bx+3
（1）求抛物线L1顶点M的坐标；
（2）平移抛物线L1得到新抛物线L2，使得新抛物线L2经过原点O，且与x轴另一交点为E，若△EAM为直角三角形，请求出满足条件的新抛物线L2的表达式．发布：2025/5/24 13:30:2组卷：653引用：1难度：0.4
