经过函数性质的学习，我们知道：“函数y=f（x）的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“y=f（x）是奇函数”．
（1）若f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=x²+1，求f（x）的解析式；
（2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数y=f（x）的图象关于点（a,0）成中心对称图形”的充要条件是“y=f（x+a）为奇函数”．若定义域为R的函数g（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且当x＞1时，

g

（

x

）

=

1

-

1

x

．
①求g（x）的解析式；
②若函数f（x）满足：当定义域为[a,b]时值域也是[a,b]，则称区间[a,b]为函数f（x）的“保值”区间，若函数h（x）=tg（x）（t＞0）在（0，+∞）上存在保值区间，求t的取值范围．