若函数y=F（x）的定义域为D，且对于任意的x1、x2∈D，“F（x1）=F（x2）”的充要条件是“x1=x2”，则称函数y=F（x）为D上的“单值函数”．对于函数y=f（x），记
f（1）（x）=f（x），f（2）（x）=f（f（x）），f（3）（x）=f（f（f（x））），…，f（n+1）（x）=f（f（n）（x）），其中n=1，2，3，…，并对任意的A⊆D，记集合f（n）（A）={f（n）（x）|x∈A}，并规定f（n）（∅）=∅．
（1）若f（x）=2x+1，函数y=f（x）的定义域为R，求f（2）（[0，1]）和f（3）（[0，1]）；
（2）若函数y=f（x）的定义域为D，且存在正整数m,使得对任意的x∈D，x∈D，f（m）（x）=x,求证：函数y=f（x）为D上的“单值函数”；
（3）设a∈（0，1），若函数y=f（x）的定义域为（0，1]，且表达式为：f（x）=x+（1-a）， 0＜x≤a, x-a, a＜x≤1，
判断y=f（x）是否为（0，1]上的“单值函数”，并证明对任意的区间I⊆（0，1]，存在正整数k,使得f（k）（I）∩I≠∅．
f
（
x
）
=
x + （ 1 - a ） ， | 0 ＜ x ≤ a , |
x - a , | a ＜ x ≤ 1 ， |
【考点】函数与方程的综合运用；充分条件与必要条件．
【答案】（1）f（2）（[0，1]）=[3，7]，f（3）（[0，1]）=[7，15]；
（2）证明见解析；
（3）y=f（x）是（0，1]上的“单值函数”，证明见解析．
（2）证明见解析；
（3）y=f（x）是（0，1]上的“单值函数”，证明见解析．
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/21 21:0:4组卷：29引用：4难度：0.3
